Lösen Sie die Killing-Gleichung für ein Vektorfeld in $\mathbb{R}^2$ mit der euklidischen Metrik

Question

Ich weiß, dass das Vektorfeld $$X = a_1\partial_1 + a_2\partial_2$$ wo $a_1,a_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sind glatt, ist ein Tötungsfeld auf $\mathbb{R}^2$ mit der euklidischen Metrik $dx_1^2 + dx_2^2$.

Ich muss die Tötungsgleichung lösen $$\mathcal{L}_X(dx_1^2 + dx_2^2) = 0$$ zum $a_1$ und $a_2$.

Ich weiß, dass ich die Definition der Lie-Ableitung verwenden muss und finde, dass diese gleich Null ist, aber ich habe ein bisschen Probleme mit der Berechnung. Kann mir jemand helfen?

Ich habe über Cartans Formel nachgedacht. Ist das ein guter Ansatz?

Answer 1

Lassen $U$,$V$ und $X$ seien drei Vektorfelder und $g$sei das metrische Tensorfeld. Dann \ begin {align} \ left (L_Xg \ right) (U, V) & = X \ cdot g (U, V) - g (L_XU, V) - g (U, L_XV) \\ & = g ( \ nabla_XU, V) + g (U, \ nabla_XV) - g (L_XU, V) -g (U, L_XV) \\ & = g (\ nabla_XU - L_XU, V) + g (U, \ nabla_XV-L_XV) \\ & = g (\ nabla_UX, V) + g (U, \ nabla_VX) \ end {align} Somit$L_Xg=0$ genau dann, wenn für jedes Vektorfeld $U$ und $V$, $$ g(\nabla_UX,V) + g(U,\nabla_VX) = 0 $$ das heißt, wenn und nur wenn $\nabla X : U \mapsto \nabla_UX$ ist ein schiefsymmetrischer Operator.

Im Falle $g$ ist die euklidische Metrik von $\mathbb{R}^2$, jedes Vektorfeld $U$ ist eine glatte Kombination von $\partial_1$ und $\partial_2$, und $$ L_Xg = 0 \iff g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_1) = 0,~ g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) \text{ and } g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) = -g(\partial_1,\nabla_{\partial_2}X) $$ Wenn $X = a_1\partial_1 + a_2 \partial_2$, erinnere dich daran $\partial_1$ und $\partial_2$ sind parallel für $g$, und: \ begin {align} \ nabla _ {\ partielle_1} X & = \ nabla _ {\ partielle_1} \ left (a_1 \ partielle_1 + a_2 \ partielle_2 \ rechts) \\ & = (\ partielle_1a_1) \ partielle_1 + (\ partielle_1a_2 ) \ partielle_2 \\ \ nabla _ {\ partielle_2} X & = \ nabla _ {\ partielle_2} \ links (a_1 \ partielle_1 + a_2 \ partielle_2 \ rechts) \\ & = (\ partielle_2a_1) \ partielle_1 + (\ partielle_2a_2) \ partielle_2 \ end {align} Daher$X$ist genau dann ein Tötungsvektorfeld, wenn \ begin {align} \ Partial_1a_1 & = 0, & \ Partial_2a_2 & = 0, & \ Partial_1a_2 & = - \ Partial_2 a_1 \ End {Align} .

Wichtiger Kommentar Seien Sie vorsichtig mit der Cartan-Zauberformel. Es heißt das für eine Differentialform $\omega$, $L_X \omega = (d\circ i_X + i_X\circ d)\omega$. Ein Tensor ist im Allgemeinen keine Differentialform. Ein einfacher Grund, warum dies keinen Sinn ergibt, ist folgender: Wie definieren Sie$dg$ wann $g$ ist ein metrischer Tensor?