Lösungssatz von $\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$ [geschlossen]

Nov 23 2020

Okay Leute, $\Im$blöd. Ich habe buchstäblich 2 Tage daran gearbeitet, aber ich kann es immer noch nicht verstehen.

Hier ist die Frage: $$\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$$Was ist die Lösung? [Antwort ist$(0,\infty)$]]

Ich fand zuerst Ungleichheit Mittel $x > 0$ und der zweite sagt $x > -2$ Aber das ist nicht die Lösung, die mein Dozent gegeben hat $(0,\infty)$.

Antworten

1 TobyMak Nov 23 2020 at 18:53

Das Problem mit Ihrer Argumentation ist, wenn Sie mit einer negativen Zahl multiplizieren, ändert sich das Ungleichheitszeichen. Daher ist es nicht wahr, dass$x > 0$für alle echt $x$, aber nur wenn $x + 2 > 0$.

Für den ersten Teil empfehle ich Ihnen, sich in Fälle aufzuteilen. Wann$x + 2 > 0$bekommen Sie $x > 0$. Aber wenn$x + 2 < 0$, dann multiplizieren mit $x+2$ auf beiden Seiten gibt:

$$x \color{red}{<} x+2 $$

Das gilt für alle $x$in dem Zustand. Daher sind die möglichen Werte von$x$ sind $x > 0, x < -2$.

Für den zweiten Teil $-\frac{1}{x+2} < 0$ist richtig, damit Sie fortfahren können. Von hier aus multiplizieren Sie mit$-1$ bekommen:

$$\frac{1}{x+2} \color{red}{>} 0$$

und verwenden Sie jetzt eine ähnliche Methode, um die möglichen Werte von zu finden $x$.

NeatMath Nov 23 2020 at 23:57

Der beste Weg, um diese Art von Ungleichheiten zu lösen, besteht nicht darin, sich auf verschiedene Fälle aufzuteilen, sondern auf $\underline{\text{combine the fractions}}$.

Für Ihre erste Ungleichung: $$\frac{x}{x+2} >0 \iff x(x+2)>0 \iff x \in (-\infty, -2)\cup (0, \infty) \tag 1$$

Für Ihre zweite Ungleichung: $$\frac{x+1}{x+2} < 1 \iff \frac{x+1}{x+2}-1 = - \frac{1}{x+2} < 0 \iff x+2 >0 \tag 2$$

Kombinieren Sie (1) und (2), die Sie erhalten $x>0$.

Ein weiteres Beispiel finden Sie unter Lösen grundlegender Ungleichungen

HenryLee Nov 29 2020 at 00:30

ok also betrachten wir zuerst die erste Ungleichung: $$\frac{x}{x+2}>0\tag{1}$$ damit dies auch wahr ist $x>0$ also sind oben und unten beide positiv, oder wir können haben $x<-2$ und so wäre die Lösung für diese Ungleichung $x\in(-\infty,-2)\wedge(0,\infty)$.


Nun zum zweiten: $$\frac{x+1}{x+2}<1\tag{2}$$ $$1-\frac{1}{x+2}<1$$ $$-\frac 1{x+2}<0$$ $$\frac{1}{x+2}>0$$ und daraus wird klar, dass die Lösung ist $x>-2$ und so: $x\in(-2,\infty)$. Damit beide gleichzeitig wahr sind, müssen wir herausfinden, wo sich diese Domänen überschneiden$x\in(0,\infty)$