Möbius-Transformation zwischen zwei Mengen [Duplikat]

Question

Ich brauche Hilfe beim Aufbau einer Möbius-Transformation (die meiner Meinung nach existiert), die die Domäne abbildet $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ auf zu $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$

Answer 1

@MartinR und @Vercassivelaunos haben beide präzise geometrische Erklärungen gegeben, warum es keine solche Transformation gibt. Es ist eine lohnende Übung, es auf die harte Tour zu machen, für diejenigen, die mit dem Ergebnis von Zirkline zu Zirkline nicht vertraut sind .

Parametrieren Sie den ersten Satz als $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ mit $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$. Wenn$\frac{az+b}{cz+d}$ macht den Job,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$hat einen positiven Realteil für alle solche $r,\,t$. Gleichermaßen brauchen wir$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$für alle $t$, was eindeutig nicht funktioniert.