Nächste Schritte für einen Liebhaber der Morse-Theorie?
Ich weiß nicht, ob diese Frage wirklich für MO geeignet ist, aber hier ist: Ich mag die Morse-Theorie sehr und würde gerne wissen, in welche weiteren Richtungen ich gehen kann, aber als völliger Nicht-Experte habe ich Probleme beim Sehen weiterleiten, um diese Richtungen zu identifizieren und wo ich lesen sollte. Im Folgenden werde ich meinen Hintergrund und meine besonderen Interessen erwähnen und dann Dinge erwähnen, von denen ich gehört habe oder über die ich mich gewundert habe. Ich würde mich über Referenzen freuen, die für mein Niveau oder noch besser für Skizzen historischer oder aktueller Morse-y-Trajektorien geeignet sind.
Ich habe Milnors Morse-Theorie und Vorlesungen zum H-Cobordismus-Theorem gelesen (letzteres war Gegenstand meiner Diplomarbeit). Ich habe auch ein wenig über Morse-Homologie gelesen. Ich denke, das Problem ist, dass mein Wissen über die Morse-Theorie dort endet, nicht nur in detailliertem Wissen, sondern auch in Bezug auf Themen und Flugbahnen. Das macht es schwierig zu wissen, wo man als nächstes suchen muss. Meine Hauptinteressen (zur Zeit) liegen in der Differentialtopologie und in symplektischen Dingen. Um dieser Frage einen angemessenen Bereich zu geben, gibt es einige Einschränkungen:
- Diese Frage betrifft Themen der "Morse-Theorie" (im weitesten Sinne), nicht Anwendungen der Morse-Theorie auf andere Dinge. Ich bin definitiv auch daran interessiert, aber diese Liste wäre endlos. Insbesondere bewege ich meine torischen Neugierde zu einer anderen Frage.
- Ich interessiere mich hauptsächlich für vielfältige Dinge, im Gegensatz zu diskreter oder geschichteter Morse-Theorie.
- Die Beschränkung auf endliche Dimensionen ist für diesen Kontext vollkommen in Ordnung. Mir ist bewusst, dass es Hilbert / Banach-Mannigfaltigkeiten und solche gibt, die diskutiert werden müssen, aber ich weiß nichts über sie. Vielleicht kann ich die Floer-Theorie nicht vollständig verbieten, aber ich sage nur, dass ich, obwohl ich vorhabe, irgendwann etwas darüber zu lernen, denke, dass es über meinen gegenwärtigen Rahmen hinausgeht.
Hier sind einige spezifische Dinge, über die ich mich gewundert habe:
Kohomologieprodukte: Ich stelle mir vor, dass für ein Morse-Smale-Paar das Becherprodukt (oder sein Poincaré-Dual) durch Schnittzahlen der instabilen Verteiler berechnet werden könnte, obwohl ich keinen ausführlichen Bericht darüber gelesen habe. Gegen Ende von Schwarzs Morse-Homologie (die ich nicht gelesen habe) definiert er das Becherprodukt in einem analogen Stil zur üblichen singulären Kohomologie-Konstruktion. Am interessantesten sind vielleicht die Produkte in Kapitel 1 von Fukayas "Morse Homotopy".$A^\infty\!$-Kategorie und Floer-Homologien. "Ich habe dies noch nicht gelesen, hoffe aber, dies in naher Zukunft zu tun. Gibt es eine andere wichtige Ansicht des Becherprodukts in der Morse-Kohomologie, die ich hier verpasst habe?
CW-Struktur: In der Morse-Theorie beschreibt Milnor Mannigfaltigkeiten, indem er Zellen hinzufügt und sie dann herumschiebt, um eine tatsächliche CW-Struktur zu erhalten (dh Zellen haften nur an Zellen mit niedrigeren Dimensionen). Dies ist nützlich, lässt aber schnell die Mannigfaltigkeit hinter sich und wird nur zu einer Frage des Homotopierens von Karten. Die instabilen Verteiler fügen eine wichtige Detailebene über Griffzerlegungen hinzu, aber selbst bei einem Morse-Smale-Paar versagen die "anhängenden" Karten notorisch bei der Kontinuität. Dies zu beheben scheint eine heikle Frage zu sein und ich bin mir nicht sicher, wo die Antwort liegt. Wenn ich das richtig verstehe, hängt dies mit der Verdichtung von Modulräumen von Strömungslinien zusammen. Vielleicht kann die Antwort in Schwarzs Buch oder in Hutchings 'Notizen gefunden werden? (Obwohl ein Kommentar zu dieser MO-Fragebehauptet, dass die Behauptung von Hutchings falsch angegeben ist.) Hat eine echte CW-Struktur etwas mit dem zu tun, wonach Cohen-Jones-Segal in "Morse-Theorie und Klassifizierung von Räumen" gesucht hat? (Wieder habe ich nicht gelesen, aber ich bin fasziniert und hoffe es.)
Endliche Volumenströme: Ein weiteres Papier, das mich fasziniert, aber nicht gelesen hat, ist Harveys und Lawsons "Finite Volumenströme und Morse-Theorie". Es scheint eine schöne Möglichkeit zu sein, die oben genannten Probleme der Diskontinuität zu umgehen und dabei ein ganz neues Schema der Morse-Theorie zu erstellen. Das Lesen würde jedoch wahrscheinlich bedeuten, zuerst etwas über Strömungen zu lernen… Es scheint an und für sich sehr elegant zu sein, aber es könnte interessant sein zu wissen, wohin diese Theorie führt und was damit gemacht wird, als Motivation, den notwendigen Hintergrund zu lernen.
Cerf-Theorie: Ich habe ein wenig über die Cerf-Theorie gehört, kann aber keine Referenzen dazu finden (auf Englisch, da ich kein Französisch spreche). Um die Beziehung zwischen verschiedenen Griffzerlegungen zu verstehen, scheint es eine sehr natürliche Sache zu sein, diese zu verfolgen. Vielleicht ist es wegen der Schwierigkeit / Länge von Cerfs Papier unbeliebt? Oder weil es später durch die gerahmte Funktionsarbeit von Hatcher, Igusa und Klein (und vielleicht anderen, ich weiß einfach nichts über diesen Bereich) subsumiert wurde, wie in dieser MO-Frage erwähnt ? Ich weiß wirklich nicht genug darüber, um eine richtige Frage zu stellen, aber ich würde mich über Vorschläge freuen, wie ich mehr lernen kann.
Sonstiges: Gibt es noch andere wichtige Anweisungen, die Sie einem Morse-Theorie-Enthusiasten vorschlagen würden?
Antworten
Ein aktuelles Durchbruchsergebnis, das die Morse-Theorie in erheblichem Maße nutzt, ist Watanabes Widerlegung der Smale-Vermutung in Dimension 4 . Darin bietet er eine Methode zur Berechnung von Kontsevichs Konfigurationsraumintegralen durch Zählen bestimmter unterbrochener Flusslinien für Gradienten von Morsefunktionen. Diese Morse-theoretischen Invarianten werden verwendet, um zu beweisen, dass bestimmte 4-dimensionale Scheibenbündel mit Trivialisierung keine Trivialbündel sind. Es gibt noch viel zu tun, um die Eigenschaften dieser Arten von Invarianten zu entwickeln und sie zum Nachweis nicht trivialer Homotopiegruppen der Diffeomorphismusgruppen anderer Mannigfaltigkeiten zu verwenden.
Nächste Schritte:
(0) (Relative Morse-Theorie) Geoffrey Mess 'Artikel "Torelli-Gruppen der Gattungen zwei und drei Oberflächen" untersucht eine relative Morse-Theorie des Abel-Jacobi-Zeitorts in den oberen Zwischenräumen von Siegel, um daraus die Torelli-Gruppe (in Gattung zwei) zu schließen ) ist eine freie Gruppe mit unzähligen Generatoren. Ich fand seinen Beweis sehr interessant und versuchte mehr zu lernen, machte aber kaum Fortschritte ...
(1) (Fast komplexe Strukturen) Wenn Sie sich für symplektische Topologie interessieren, dann hat Eliashberg-Cielebaks Lehrbuch "Von Stein zu Weinstein und zurück: Symplektische Geometrie affiner komplexer Mannigfaltigkeiten" eine sehr interessante Behandlung der Morse-Theorie, insbesondere in Bezug auf fast -Komplexe Strukturen $J$ auf symplektischen Mannigfaltigkeiten $(M, \omega)$. Ich denke, dieses Lehrbuch verdunkelt Milnors Texte. Enthält einen sehr elementaren Beweis dafür, dass "jeder$2n$-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit hat den Homotopietyp eines $n$-dimensionaler CW-Komplex ". (In der Tat die instabile Mannigfaltigkeit $W^+$ ist in Bezug auf die nicht entartete symplektische Form völlig lagrangisch $\omega=\omega_f$und ist daher höchstens $n$-dimensional). Hier$f$ ist eine wirklich geschätzte Morsefunktion, deren Beschränkung auf alle $J$-invariante Zwei-Ebenen ist subharmonisch.
(2) Der Gradient fließt zu Polen (wo eine potentielle Funktion besteht $f$ und sein Gefälle $\nabla f$ divergiert zu $\pm \infty$) scheint mehr Anwendungen für die Topologie zu haben als der herkömmliche Gradientenfluss zu Nullen. Insbesondere beim Versuch einer starken Verformung wird eine nicht kompakte Quelle zurückgezogen$X$in eine niederdimensionale kompakte Wirbelsäule. Das Anwenden eines Gradientenflusses auf Nullen erfordert eine Lipschitz-Kontinuitäts-bei-Infinitions-Bedingung für den Verformungsparameter. Hier spielt die Lowasiejiwicz-Ungleichung typischerweise eine entscheidende Rolle beim Nachweis der Kontinuität des neu parametrisierten Gradientenflusses. Das größte Problem bei "Gradientenfluss zu Nullen" besteht darin, dass der Gradientenfluss langsamer wird, wenn er sich seinem Ziel nähert. In meinen Anwendungen des optimalen Transports zur algebraischen Topologie finde ich den Gradientenfluss zu Polen viel bequemer, da der Gradient eine endliche zeitliche Explosion erfährt und die Kontinuität des neu parametrisierten Flusses unmittelbar ist, ohne dass Lowasiejiwcz angesprochen wird. Grundsätzlich ist "Gradientenfluss zu Nullen" eine weiche Landung, während "Gradientenfluss zu Polen" in das Ziel beschleunigt.
Insbesondere schlage ich vor, dass der "Gradientenfluss zu den Polen" der nächste wichtige Schritt ist. Und dies geschieht regelmäßig bei optimalem Transport, wie ich als nächstes beschreibe.
(3) (Optimaler Transport) Die Morse-Theorie nimmt im optimalen Transport eine neue Form an, wobei die Morse-Theorie eine Rolle bei der Feststellung der Regelmäßigkeit / Kontinuität und Einzigartigkeit von spielt $c$-optimale Transportpläne.
Betrachten Sie einen Quellwahrscheinlichkeitsraum $(X, \sigma)$, Ziel $(Y, \tau)$und Kosten $c: X\times Y \to \mathbb{R}$. Kantorovich Dualität kennzeichnet die$c$-optimaler Transport von $\sigma$ zu $\tau$ über $c$-konvexes Potenzial $\phi=\phi^{cc}$ auf $X$ mit $c$-verwandeln $\psi=\phi^c$ auf $Y$. Kantorovich sagt das$c$-optimaler Transportplan $\pi$ wird in der Grafik des unterstützt $c$-subdifferential $\partial^c \phi$oder gleichwertig in der Grafik von $\partial^c \psi$.
Die Subdifferentiale sind durch den Fall der Gleichheit in gekennzeichnet $$-\phi(x)+\psi(y)\leq c(x,y).$$ Differenzierung des Falles der Gleichheit in Bezug auf $x$ und $y$ ergibt die Gleichheiten $$-\nabla_x \phi(x)=\nabla_x c(x,y)$$ und $$\nabla_y \psi(y)=\nabla_y c(x,y).$$ (RJMcCann zeigt, dass diese Gleichheiten unter allgemeinen Hypothesen fast überall gelten $c$). Zum Beispiel die (Twist) Bedingung: If$Y\to T_x X$ definiert von $y\mapsto \nabla_x c(x,y)$ ist für jeden injektiv $x\in X$, dann $$y=T(x):=\nabla_x c(x, \cdot)^{-1}(\nabla_x \phi(x))$$ definiert a $c$-optimale Borel messbare Karte von $\sigma$ zu $\tau:=T\#\sigma$.
Darüber hinaus die Faser $T^{-1}(y)$ kann als die Menge von charakterisiert werden $x$ befriedigend $\nabla_y\psi(y)=\nabla_y c(x,y)$ oder $$\nabla_y [c(x,y)-\psi(y)]=0.$$ Aber beachten Sie, dass die Unterscheidung der $c$-Legendre Fenchel Ungleichung ein zweites Mal untersuchen wir ausschließlich die globalen Minima der Potenziale $y\mapsto c(x,y)-\psi(y)$, für jeden $x\in X$.
Unter Verwendung des üblichen impliziten Funktionssatzes wird die Faser $T^{-1}(y)$ ist eine glatte Untervielfalt von $X$ wenn $D_x(\nabla_y c(x,y))$ ist für jeden nicht entartet $x\in T^{-1}(y)$. Wenn das Ziel$(Y, \tau)$ ist eindimensional, dies erfordert die Funktion $x\mapsto \nabla_y c(x,y)$ für jeden kritisch punktfrei sein $y\in Y$, und $x\in T^{-1}(y)$.
Auf den meisten Quellenverteilern $(X, \sigma)$Es ist schwierig, das Nichtvorhandensein kritischer Punkte zu überprüfen. Wenn$X$ ist kompakt und $c$ist stetig endlichwertig, dann verbietet es die Morse-Theorie (Elementarrechnung). Aber wir studieren gerne die Kosten$c$mit Polen, wenn die Pole die einzigen kritischen Werte von sind$c$! Zum Beispiel kann die (Twist) -Hypothese so umformuliert werden, dass die beiden spitzen Kreuzdifferenzen vorliegen$$c_\Delta(x;y,y'):=c(x,y)-c(x,y')$$ ist eine kritische punktfreie Funktion für alle $y,y'$,$y\neq y'$ und $x$auf seiner Domain. Dies kann auf kompakten Räumen nur erfüllt werden, wenn Pole zulässig sind.
(3.1) (Kanonische Morse- / Kostenfunktionen?) Wir müssen zwischen generisch und kanonisch unterscheiden . Nach meiner Erfahrung ist es sehr schwierig, generische Funktionen auf Wolfram MATHEMATICA aufzuschreiben, zu untersuchen oder zu implementieren. Es ist bekannt, dass Morsefunktionen generisch sind (im Sinne von Sard, Thom usw.). Aber ich persönlich bevorzuge kanonische Morsefunktionen. Oder aus Sicht des Massentransports kanonische Kosten $c$ deren Derivate $\nabla c$ sind geeignete Morse-Funktionen.
Zum Beispiel, wenn Sie den optimalen Transport von einer geschlossenen Oberfläche aus untersuchen möchten $\Sigma$ zur realen Linie $Y=\mathbb{R}$ (oder zu kreisen oder zu grafisch darstellen), dann sucht man einen angemessenen Preis $c: \Sigma \times Y \to \mathbb{R}$ Erfüllen der oben genannten Bedingungen, z $\frac{\partial c}{ \partial y}(x ,y)$ kritisch frei sein in $x\in \Sigma$ für jeden $y\in \mathbb{R}$. Dies ist nach der Morse-Theorie verboten, wenn$\Sigma$ ist kompakt und $c$ist überall endlich. (In Anwendungen erlauben wir$c$ haben $+\infty$Stangen. Dann$\partial c/\partial y$ ist möglicherweise ein kritischer Punkt frei auf seiner Domain).
Aber was ist ein kanonischer Preis $c: \Sigma \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ was einen interessanten geometrischen Transport von darstellt $\Sigma$ zu $\mathbb{R}$? Hier die Quell- und Zielräume$\Sigma$, $Y=\mathbb{R}$ haben keine Interaktionen a priori, sie sind nicht einmal in einen gemeinsamen Hintergrundraum eingebettet, es sei denn, wir nehmen an $Y\subset X$.
Für das Cup-Produkt im Rahmen der Morse-Theorie hat Kenji Fukaya in Abschnitt 1 seiner Morse-Homotopie und deren Quantisierung studiert . Um das Tassenprodukt zu definieren, benötigen wir nicht nur eine, sondern drei Morsefunktionen.
In der symplektischen Geometrie kann die Floer-Homologie als unendlich dimensionales Analogon der Morse-Theorie für die auf dem Pfadraum funktionale Aktion angesehen werden. Eine ausführliche Einführung finden Sie im Buch Morse-Theorie und Floer-Homologie .