Paradigmenwechsel in der Mathematik [geschlossen]
In der Physik gab es mehrere klare Revolutionen oder Paradigmenwechsel, die das Gebiet grundlegend veränderten. Ein Beispiel ist die kopernikanische Revolution und die umfassende Verschiebung von der ptolemäischen zur heliozentrischen Sichtweise.
Angesichts der Tatsache, dass Mathematik nach Axiomen funktioniert, hielt ich es für unwahrscheinlich, dass sich falsche Annahmen in den Kanon des Feldes einschleichen. Während meiner Mathematikausbildung (als Physiker) hatte ich außerdem das Gefühl, dass sich die Mathematik von den Griechen bis heute ziemlich kontinuierlich weiterentwickelte und immer neues Wissen über das alte hinzufügte.
Daher ist meine Frage, ob dies falsch ist und es bestimmte Paradigmenwechsel oder radikale Neuinterpretationen früherer Ergebnisse in der Geschichte der Mathematik gab oder ob es sich um ein kontinuierliches Wachstum des Wissens handelte.
Nachtrag
Es gab bereits diese Frage, die nach philosophischen Veränderungen in der Mathematik fragt. Ich dachte jedoch, dass es anders ist als dieses, da ich zu verstehen versuche, ob der Umfang des mathematischen Wissens linear wuchs oder an bestimmten Punkten diskontinuierlich war.
Antworten
Ich nehme an, wir könnten "Revolutionen", die ihre Toten begraben (sozusagen), von "Paradigmenwechseln" unterscheiden (wo das Spiel weitergeht und die im alten Stil geleistete Arbeit nicht ausgelöscht wird, aber nicht mehr interessant oder wichtig erscheint).
Ich nehme an, es wurde einmal angenommen, dass die Überarbeitung der Analyse ohne Infinitesimale im 19. Jahrhundert eine Revolution war, die Falschheit / Inkohärenz verdrängte (weshalb Sorten von Nicht-Standard-Analysen, die Infinitesimale rehabilitierten - irgendwie! - eine faszinierende Überraschung waren, hundert und etwas Jahre später). Die Entwicklung der Mengenlehre war eine Revolution, indem sie zeigte, dass es möglich war, eine kohärente Theorie (von "vollendeten Unendlichkeiten") zu haben, bei der zuvor angenommen wurde, dass es nur Falschheit / Inkohärenz geben könnte.
Aber solche Fälle sind sicherlich die Ausnahme (jedenfalls in der Mathematik). Ein Paradigmenwechsel muss nicht die Annahme beinhalten, dass das, was vorher gegangen ist, falsch ist . Vielmehr werden neuartige Konzepte eingeführt, neue Probleme aufgeworfen, neue Ansätze als besonders interessant / lohnend angesehen; Neue Beispiele werden als zu emulierende Paradigmen angesehen und als Maßstäbe, nach denen Problemlösungen beurteilt werden. Die Entwicklung der abstrakten Algebra im letzten Jahrhundert scheint beispielsweise ein Paradigmenbeispiel für diese Art von Paradigmenwechsel zu sein ...!
Mathematik ist keine axiomatische Disziplin. Eine Möglichkeit, ein neues Feld zu eröffnen, besteht im Allgemeinen darin, Beispiele aufzudecken, die etwas gemeinsam haben und auf eine neue Theorie hinzuweisen scheinen.
Nehmen Sie zum Beispiel Homologie. Dies wurde von Eilenberg & Steenrod axiomatisiert. Aber hätten nicht die Leute die Betti-Zahlen entdeckt, hätte Poincare nicht die Homologie entdeckt und hätte Noether nicht darauf hingewiesen, dass die Betti-Zahlen besser als Gruppen gedacht wären, hätte es nichts zu axiomatisieren gegeben.
Hilbert sagt mehr oder weniger dasselbe in seiner Geometry & the Imagination, wo er deduktives Denken klassifiziert, dh das Denken, das aus der axiomatischen Form einer niedrigeren Ordnung stammt als die des induktiven Denkens, die er als die wahre Form des wissenschaftlichen Denkens klassifiziert.
Persönlich war für mich ein wichtiger Paradigmenwechsel die Einführung des kategorietheoretischen Denkens in die Mathematik und zeigt auch die Kontinuität des Denkens. Zum Beispiel wurde das Dreieck früh entdeckt, indem wir den Seiten Richtungen hinzufügen, für die wir das Gesetz der Vektoraddition haben, und indem wir dann zulassen, dass die Seiten gekrümmt sind, können wir sie uns als kategorietheoretische Pfeile vorstellen. Dies ist auch aufschlussreich: Wir können sie als nichteuklidische Vektoren betrachten und in einem Längenraum, in dem zwischen zwei beliebigen Punkten eine eindeutige Geodät liegt, können wir die gerichtete Geodät in einen solchen Vektor heben.