Positive Gattung Fuchsian Gruppen
Lassen $G$ sei ein Gitter in $SL(2,\mathbb{R})$. Stimmt es immer, dass es eine Untergruppe mit endlichem Index gibt?$F$ von $G$ so dass die Quotientenfläche $\mathbb{H}/F$hat positive Gattung? Stimmt die Aussage unter allgemein genug getroffenen Annahmen? Können Sie bitte eine Referenz hinzufügen?
Antworten
Ja, das stimmt, aber es ist einfacher, dies zu beweisen, als eine Referenz zu finden.
Jede endlich erzeugte Matrixgruppe (zB ein Gitter in $PSL(2, {\mathbb R})$enthält eine torsionsfreie Untergruppe. Das allgemeine Ergebnis ist Selberg zu verdanken, jedoch für diskrete Untergruppen von$PSL(2, {\mathbb R})$ es war sicherlich früher bekannt.
In Anbetracht von 1 genügt es zu beweisen, dass jede Oberfläche $S$ homöomorph zur zweidimensionalen Kugel mit $n\ge 3$ Einstiche lassen eine endliche Bedeckung zu $S'\to S$ so dass $S'$hat positive Gattung. Nehmen wir zuerst an, dass$n$ist ungerade. Reifenpannen umgeben$p_i$ durch kleine Schleifen $c_i$. Ich werde diese als Elemente von betrachten$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Betrachten Sie nun den Homomorphismus$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ wo der erste Pfeil Hurewicz ist und der zweite sendet $[c_1], [c_2]$ zu $1$ und der Rest von $[c_i]$ist zu $0$. Nehmen Sie die 2-fache Abdeckung$S_1\to S$ entsprechend dem Kernel von $\alpha$. Dann$S_1$ ist $2+ 2(n-2)$-mals punktierte Kugel. Somit wird das Problem auf den Fall von Kugeln mit einer geraden Anzahl von Einstichen reduziert.
Lassen $S$ Sein $S^2$ mit $n=2k\ge 4$Einstiche. Definieren Sie ähnlich wie in (2) den Homomorphismus$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
wo der zweite Pfeil alle sendet $[c]_i$'s zum Nicht-Null-Element von ${\mathbb Z}_2$. Lassen$S'\to S$ bezeichnen die 2-fache Abdeckung, die dem Kern von entspricht $\beta$. Dann$S'$ werde haben $2k$ Einstiche und Gattung $k-1>0$. (Dies ist eine Übung zur Topologie von Oberflächen. Die natürliche Erweiterung von$S'\to S$zu einer verzweigten Bedeckung kompakter Oberflächen wird eine hyperelliptische Bedeckungskarte genannt .)
Bearbeiten. 1. Wenn Sie eine Referenz wünschen, ist ein optimales Ergebnis in
Edmonds, Allan L.; Ewing, John H.; Kulkarni, Ravi S. , Torsionsfreie Untergruppen von Fuchsschen Gruppen und Tessellationen von Oberflächen , Invent. Mathematik. 69, 331 & ndash; 346 (1982). ZBL0498.20033 .
Es kann wie folgt angegeben werden: Nehmen wir an, dass $F_1, F_2$ sind Gitter in $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Dann$F_2$ bettet ein in $F_1$ (als abstrakte Gruppe) mit Index $k$genau dann, wenn die Riemann-Hurwitz-Bedingung erfüllt ist:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Sobald Sie die Definitionen entschlüsselt haben, impliziert dies die positive Antwort auf die positive Gattungsfrage.
- Um ihr Ergebnis anzuwenden, muss man wissen (und sie nehmen es als selbstverständlich an), dass jedes Gitter in $G$ hat die Präsentation $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Diese Präsentation finden Sie in Poincares Artikeln über Fuchssche Funktionen. Ob er tatsächlich einen Beweis hatte, ist schwer zu sagen (dies gilt für so ziemlich alles, was ich von Poincare geschrieben habe, aber andere könnten anderer Meinung sein), aber er hatte ein Werkzeug, um das Ergebnis zu beweisen, nämlich konvexe fundamentale Bereiche. Ein soliderer Beweis ist wahrscheinlich in Dehns Papieren zu finden (ich habe es nicht versucht). Die früheste feste Referenz, die ich für die Existenz eines endlichen Erzeugungssatzes für Gitter kenne$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ ist
Siegel, Carl Ludwig , Einige Bemerkungen zu diskontinuierlichen Gruppen , Ann. Mathematik. (2) 46, 708 & ndash; 718 (1945). ZBL0061.04505 .
Es überrascht nicht, dass Siegel fundamentale Polygone verwendet, um das Ergebnis zu beweisen: Er beweist die Existenz eines endlich seitigen fundamentalen Polygons und schloss infolgedessen eine explizite Obergrenze für die Anzahl der Generatoren in Bezug auf die Fläche des Quotienten ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Dieser Endlichkeitssatz gilt viel allgemeiner für Gitter in verbundenen Lie-Gruppen, aber dies ist eine andere Geschichte (die auch die Geschichte so kompliziert hat, dass unklar ist, wem dieses eindeutig grundlegende Ergebnis zuzuschreiben ist). Eine Sache, bei der ich mir nicht sicher bin, ist:
Obwohl die Existenz endlicher Erzeugungssätze für Gitter in verbundenen Lie-Gruppen bekannt ist, kenne ich keinen festen Hinweis auf eine explizite Obergrenze für die Anzahl der Generatoren in Bezug auf das Volumen des Quotienten (im nicht torsionsfreien Fall). .
- In Bezug auf "Fenchels Vermutung", dass jedes Gitter in $G=PSL(2, {\mathbb R})$enthält eine torsionsfreie Untergruppe mit endlichem Index: Die Geschichte ist etwas bizarr. Wann die Vermutung zum ersten Mal aufgestellt wurde, ist schwer / unmöglich zu sagen. Es wird in Nielsens Artikel erwähnt
J. Nielsen, Kommutatorgruppen für die Herstellung von Cykliske Grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), S. 49-56.
Bemerkenswerterweise enthält Nielsens Artikel keinerlei Referenzen.
Zum Zeitpunkt des Erscheinens von Nielsens Papier war Fenchels Vermutung jedoch bereits bewiesen. Der Beweis ist hauptsächlich enthalten in:
Mal'tsev, AI , Über die getreue Darstellung unendlicher Gruppen durch Matrizen , Am. Mathematik. Soc., Transl., II. Ser. 45, 1-18 (1965); Übersetzung von Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405 & ndash; 422 (1940). ZBL0158.02905 .
Nun jedes Gitter $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ wird endlich erzeugt und enthält nur endlich viele $\Gamma$-Konjugationsklassen von Elementen endlicher Ordnung. (Dies stammt zumindest aus Siegels Theorem über fundamentale Polygone, das Poincare, wie gesagt, wahrscheinlich bekannt war.) Mal'tsevs Theorem impliziert, dass wenn$\Gamma$ ist eine endlich erzeugte Matrixgruppe, dann für jede endliche Sammlung von nichttrivial $\Gamma$-Konjugationsklassen $C_1,...,C_k$gibt es eine Untergruppe mit endlichem Index $\Gamma'< \Gamma$ disjunkt von $C_1,...,C_k$. Durch die Kombination der beiden Ergebnisse wird jedes Gitter in$G=PSL(2, {\mathbb R})$ enthält eine torsionsfreie Untergruppe mit endlichem Index.
Eine vollständige Lösung von Fenchels Vermutung wurde von Fox in behauptet
Fox, Ralph H. , Über Fenchels Vermutung über (F) -Gruppen, Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
der Mal'tsevs Papier offensichtlich nicht kannte. Die Lösung von Fox erwies sich als teilweise fehlerhaft, wobei ein Fehler (in einem der Fälle) korrigiert wurde in:
Chau, TC , Eine Notiz über Fox 'Artikel über Fenchels Vermutung , Proc. Am. Mathematik. Soc. 88, 584 & ndash; 586 (1983). ZBL0497.20035 .
Zu diesem Zeitpunkt (23 Jahre zuvor) erwies sich Selberg als noch allgemeineres Ergebnis in:
Selberg, Atle , Über diskontinuierliche Gruppen in höherdimensionalen symmetrischen Räumen, Contrib. Funktionstheorie, Int. Umgangssprache. Bombay, Januar 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .
Selberg bewies, dass jede endlich erzeugte Matrixgruppe eine torsionsfreie Untergruppe mit endlichem Index enthält. Selberg war sich auch Mal'tsevs Zeitung nicht bewusst, aber zumindest berichtete er nicht über etwas, das bereits da war. Die Sache ist, dass eine endlich erzeugte Matrixgruppe$\Gamma$ kann unendlich viele haben $\Gamma$-Konjugationsklassen endlicher Untergruppen, daher kann man Mal'tsevs Ergebnis nicht einfach anwenden.
Eine Bemerkung zu Schritt (1) in Moishe Kohans Beweis. Dieses Problem (Finden eines endlichen Index, torsionsfreie Untergruppe eines Gitters in$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) wurde "Fenchels Vermutung" genannt. Es wurde von Ralph H. Fox gelöst. Siehe sein Papier:
Über Fenchels Vermutung über F-Gruppen
und spätere Arbeiten (für andere Beweise und für Korrekturen an früheren Arbeiten).