Rang des Elements in der generischen Erweiterung gegenüber dem Rang seines Namens
Ich sehe manchmal die folgende Tatsache in einigen Argumenten verwendet:
annehmen $M[G]$ ist eine generische Erweiterung von $M$ durch einen Zwang $\mathbb P$ und nehmen an $x\in M[G]$ hat Rang $<\gamma$, wo $\gamma$ ist eine Grenzwert-Ordnungszahl über dem Rang$(\mathbb{P})$. Dann gibt es einen Namen$\tau\in M^\mathbb{P}$ so dass $\tau_G=x$ und $\tau$ hat Rang $<\gamma$.
Diese Tatsache wird beispielsweise in Reitz ' The Ground Axiom verwendet, um zu beweisen, dass das Bodenmodell am Ende des ersten Absatzes im Beweis von Lemma 7.1 definierbar ist.
Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das beweisen soll. Jede Hilfe geschätzt!
Nach dem Bearbeiten hinzugefügt: wenn wir das zusätzlich annehmen $\gamma$ ist ein $\beth$-fixierter Punkt (äquivalent, $H_\gamma=V_\gamma$. Dies gilt in dem oben genannten Sonderfall in Lemma 7.1. Dann denke ich, dass das folgende Argument funktioniert.
Durch Induktion auf Rang zeigen wir, dass wenn $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, dann gibt es einen Namen $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ so dass $\sigma_G=x$. Nehmen wir also an, dies gilt für alle Sätze niedrigerer Ränge als$x$. Daher jeder$y\in trcl(x)$ hat einen Namen $n(y)$ dessen Rang niedriger ist als $\gamma$. Sammeln Sie nun alle diese Namen$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. Schon seit$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, wir wissen $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. Das bedeutet auch das$|z|=\kappa$. Die vorstehenden Kardinalitätsansprüche sind alle im Sinne von$M[G]$und wir korrigieren eine Vermutung $f:\kappa\to z$ im $M[G]$.
Lassen $\rho$ sei ein Name für $x$ und $\tau$ sei ein Name für $z$. Durch das Wahrheits-Lemma können wir einige reparieren$p\in G$ so dass $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$
Anschließend definieren wir unseren niedrigrangigen Namen $\sigma$ zum $x$. Für jede$\alpha<\kappa$, wir lassen
$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ Mit anderen Worten, $X_\alpha$ sammelt diese Bedingungen unten $p$ das wird (die Bewertung von) einem Element in erzwingen $z$ ein Element von sein $x$.
Nun zu jedem $X_\alpha$, fixiere eine maximale Antichain $A_\alpha$dass es sich schneidet. Für jede$\alpha<\kappa$ und $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, es gibt einige $\mathbb P$-Name $v(\alpha,q)$ so dass $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. Jetzt können wir den Namen definieren$\sigma$ sein $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ Dann $\sigma$ ist ein Name in $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$, und $p\Vdash \sigma=\rho$.
Zweite Änderung: Es scheint, als hätte der oben skizzierte Sonderfall ein Duplikat (?). Unabhängig davon wäre ich immer noch daran interessiert, wie ich für die zitierte stärkere Behauptung argumentieren kann.
Antworten
Ich werde überarbeiten $V$ Anstatt von $M$. Ich denke, der folgende Beweis funktioniert$\mathsf{ZFC^-}$ (dh $\mathsf{ZFC}$ ohne Power Set und mit Collection und dem Prinzip der Ordnung) mit der Existenz von $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (Vor allem hält es über$M=H_\theta$ für große regelmäßige $\theta$.)
Lemma. Lassen$x\in V^\mathbb{P}$ sei ein solcher Name, dass $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ und $\gamma$ sei eine Ordnungszahl größer als $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. Wenn$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, dann ist da $\tau\in V^\mathbb{P}$ so dass
$p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$, und
$\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, wo $\gamma=\gamma_0+n$ für eine Grenze $\gamma_0$ und $n\in\omega$.
Lassen Sie mich eine Notation zu Ordnungszahlen einführen: für jede Ordnungszahl $\alpha$, $\alpha^*$ und $\alpha^@\in\omega$ Ordnungszahlen sein, so dass $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ und $\alpha^*$ ist eine Grenzordnungszahl.
Ich werde Induktion im Rang von verwenden $x$. Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir das annehmen
wenn $(y,q)\in x$ dann $q\le p$, und
(Nähe nach unten) wenn $(y,q)\in x$ und $r\le q$, dann $(y,r)\in x$
Durch Ersetzen $x$ zu $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ Schon seit $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, wir haben $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.
Dann für jeden $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. Finden Sie eine maximale Antichain$A_{y,q}$ unten $q$ welches den Wert entscheidet oder $\operatorname{rank}y$;; das heißt, wenn$r\in A_{y,q}$ dann gibt es eine Ordnungszahl $\beta_{y,q,r}<\gamma$ so dass $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.
Durch die induktive Hypothese können wir finden $\tau_{y,q,r}$ so dass $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ und $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ Jetzt nimm $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ Dann können wir beweisen $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. Es bleibt zu überprüfen, den Rang von$\tau$. Wir können das sehen$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$
Fall 1. Wenn $\gamma$ ist eine Grenzwert-Ordnungszahl, dann ist die rechte Seite streng kleiner als $\gamma$. Daher$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.
Fall 2. Wenn $\gamma=\gamma_0+n$ für eine Grenze $\gamma_0$ und $1\le n<\omega$, dann $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ Daher das entsprechende $\beta_{y,q,r}$ befriedigt $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, und somit $\tau_{y,q,r}$ befriedigt $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ Das verbleibende Argument ist direkt, und wir haben $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.