Rang einer endlichen Gruppe und ihre Darstellungen

Dec 25 2020

$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Lassen $G$ eine endliche Gruppe sein, und $C=\Rep(G)$ sei die monoidale Kategorie komplexer endlichdimensionaler Darstellungen von $G$. Wie$C$ ist endlich und halb einfach, man kann alle Darstellungen von bekommen $\oplus$ und eine endliche Menge $I$von irreduziblen Darstellungen. Nach der klassischen Charaktertheorie gibt es eine (nichtkanonische) Bijektion zwischen$I$ und $\mathrm{Conj}(G)$. In diesem Thread hoffe ich, eine eventuelle Bijektion zwischen beiden Seiten unter Berücksichtigung von zu verstehen$\otimes$.

Genauer gesagt, lassen Sie $V$ eine irreduzible treue Darstellung von sein $G$. Dann tritt jede Darstellung als Submodul von auf$V^{\otimes n}$ für einige $n$(vgl. dies und das ) und umgekehrt! Das sagen wir dann$V$ selbst erzeugt $C$ unter $\otimes$und Cauchy Abschluss. Allerdings hat nicht jede Gruppe eine irreduzible treue Repräsentation. Im selben Beitrag können wir sehen, dass sich dies weitgehend mit dem "Rang" des Sockels von befasst$G$.

Um zusammenzufassen, definieren Sie den Rang, $\rank(G)$, um die minimale Anzahl von Elementen zu sein, die zum Generieren benötigt werden $\mathrm{socle}(G)$unter Konjugation. Definieren Sie den Rang,$\rank(C)$, um die minimale Anzahl von irreduziblen Elementen zu sein, die zur Erzeugung benötigt werden $C$ unter $\otimes$und Cauchy Abschluss. Dann

$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$

Frage

Verallgemeinert sich diese Äquivalenz auf?

$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$

für jede natürliche Zahl $n$?

( EDIT Wie Qiaochu wies in dem Kommentar aus, das gilt für endliche abelsche Gruppen von Pontrjagin Dualität.)

Antworten

7 BenjaminSteinberg Dec 30 2020 at 04:25

Die Antwort auf Ihre Frage lautet Ja und ist der Hauptsatz der Arbeit Žmudʹ, È. Lehrer: Über isomorphe lineare Darstellungen endlicher Gruppen. Matte. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.

Es ist in Satz 5 auf Seite 245 unter Zeichen endlicher Gruppen zu finden. Teil 1. von Berkovich und Žmudʹ. Der Satz ist anders formuliert, aber gleichwertig und wird dem Satz von Gaschutz sehr ähnlich bewiesen.

Der Satz von Žmudʹ sagt das $G$ hat eine treue Darstellung mit $k$ irreduzible Bestandteile genau dann, wenn der Sockel von $G$ kann von höchstens als normale Untergruppe erzeugt werden $k$Elemente. Insbesondere die geringste Anzahl normaler Generatoren von$\mathrm{socle}(G)$ fällt mit der geringsten Anzahl irreduzibler Bestandteile in einer getreuen Darstellung von zusammen $G$.

Es genügt jetzt zu beobachten $\mathrm{rank}(C)$ ist genau die minimale Anzahl irreduzibler Bestandteile in einer getreuen Darstellung von $G$. In der Tat, wenn$V$ ist jede getreue Darstellung, dann zeigt der Burnside-Satz (oder die Verallgemeinerung von R. Steinberg), dass jedes irreduzible Modul ein direkter Summand in einer Tensorkraft von ist $V$ und so die irreduziblen Bestandteile von $V$ generieren $C$unter Tensorprodukt direkte Summen und direkte Summanden. Auf der anderen Seite, wenn$\rho_1,\ldots, \rho_k$ sind irreduzible Darstellungen, deren direkte Summe also nicht treu ist $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ fungiert als Identität für alle Module in der Unterkategorie, die von den entsprechenden einfachen Modulen unter den Operationen der direkten Summe, des Tensorprodukts und der direkten Summanden generiert werden, sodass diese irreduziblen Darstellungen nicht generiert werden können $C$.

So $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$