Transformation der vorherigen Verteilung in Inferenz für den Binomial-N-Parameter
Ich habe Probleme mit Frage 6 in den Übungen zu Kapitel 3 (Seite 80) der Bayes'schen Datenanalyse von Andrew Gelman.
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/BDA3.pdf
Wir haben Daten Y als unabhängige Binomialdaten mit beiden modelliert $N$ und $θ$ unbekannt, laut Rafterys 1988er Arbeit "Inferenz für den binomialen N-Parameter: Ein hierarchischer Bayes-Ansatz".
$Y∼Bin(N,θ)$ und
$N∼Poisson(μ)$, wo $λ=μθ$
Die (nicht informative) vorherige Verteilung von $λ,θ$ ist $p(λ,θ) \propto λ^{-1}$
Die Frage 6 (a) fordert Sie auf, sich zu transformieren, um zu bestimmen$p(N,θ)$.
Es ähnelt der folgenden Frage, aber ich konnte sie nicht verwenden, um zur Antwort zu gelangen.
Bayesianischer Ansatz: Ableiten des N und $\theta$ Werte aus einer Binomialverteilung
Antworten
Folgendes habe ich bekommen (da bin ich mir nicht ganz sicher). Ich denke in dieser Übung,$N$soll einer Poisson-Verteilung mit zufälliger Erwartung folgen$\mu$. Die (unangemessene) gemeinsame Verteilung von$\mu, \theta$ wird in der Transformation definiert $(\lambda = \mu \theta, \theta)$ durch $$p(\mu, \lambda) \propto 1/\lambda .$$ Um die gemeinsame Verteilung von zu erhalten $(\mu, \theta)$ Sie müssten die Tatsache nutzen, dass $$p(\mu, \theta) = p(\lambda, \theta) \mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid$$
Hier, $\mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid = \theta$ so dass die unsachgemäße Verteilung von $(\mu, \theta)$ ist $p(\mu, \theta) \propto 1 / \mu$ so ist der Prior: $$\begin{array}{lcl} p(\mu) &\propto & 1 / \mu\\ N & \sim & \mathcal{P}(\mu) \\ \theta & \sim & \mathcal{U}([0, 1]) \end{array}$$