Wann ist der Kegel? $C(X)$ auf einem lokal kompakten Raum?

Dec 16 2020

Es gibt ein paar Fragen in diesem Forum mit Sonderfällen dieser Frage beschäftigen, zum Beispiel dieses für$X = \mathbb Z$und das für$X = \mathbb R$. Meine Frage ist

Was sind notwendige und ausreichende Bedingungen auf $X$ die die lokale Kompaktheit des Kegels sicherstellen $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?

Die Antwort kann von der genauen Definition der lokalen Kompaktheit abhängen. Hier sind zwei Varianten:

  1. $X$ ist lokal kompakt, wenn jeder $x \in X$ hat eine kompakte Nachbarschaft.

  2. $X$ ist lokal kompakt, wenn jeder $x \in X$ hat eine Nachbarschaftsbasis, die aus kompakten Mengen besteht.

Offensichtlich ist 2. stärker als 1. Wenn angenommen wird, dass "kompakt" "Hausdorff" enthält, sind 1. und 2. äquivalent. Gleiches gilt für Hausdorff$X$ unabhängig von der Interpretation von "kompakt".

Der Leser wird ermutigt, seine Lieblingsinterpretation zu verwenden.

Eine offensichtlich ausreichende Bedingung ist folgende:

Wenn $X$ ist also kompakt $C(X)$ ist kompakt und damit lokal kompakt im Sinne von 1. Wenn $X$ ist also kompaktes Hausdorff $C(X)$ ist kompakt Hausdorff und damit lokal kompakt im Sinne von 2.

Ebenso ist eine offensichtlich notwendige Bedingung folgende:

Wenn $C(X)$ ist also lokal kompakt $X$ ist lokal kompakt.

Tatsächlich, $X$ ist homöomorph zur Basis $X \times \{0\}$ von $C(X)$ das ist geschlossen in $C(X)$, also lokal kompakt.

Wenn $X$ ist lokal kompakt, dann deutlich der offene Unterraum $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ ist lokal kompakt, wo $*$ ist die Spitze von $C(X)$dh die gemeinsame Äquivalenzklasse der Punkte in $X \times \{1\}$.

Es scheint mir, dass ein nicht kompakter $X$kann keinen lokal kompakten Kegel haben. Der Grund ist, dass wenn$C(X)$ ist also lokal kompakt $*$muss eine kompakte Nachbarschaft haben. Ich kann ein Teilergebnis nachweisen (siehe meine Antwort auf meine eigene Frage). Aber ich bin interessiert, ob es einen allgemeineren Satz gibt.

Antworten

2 PaulFrost Dec 16 2020 at 06:12

Hier ist eine teilweise Antwort.

Lassen $X$ein normaler (einschließlich Hausdorff) zählbar parakompakter Raum sein. Dann sind die folgenden gleich:

  1. $X$ ist kompakt.

  2. $C(X)$ ist kompakt.

  3. $C(X)$ ist lokal kompakt.

Dies gilt für alle parakompakten Hausdorff-Räume $X$insbesondere für alle messbaren $X$.

Die Äquivalenz von 1. und 2. ist offensichtlich und 2. impliziert 3. Es bleibt zu zeigen, dass 3. impliziert 1. Unsere Strategie ist die Einbettung $X$ als geschlossene Teilmenge einer kompakten Nachbarschaft der Spitze $*$ von $C(X)$. Dies erfolgt durch Verschieben der Basis$X \times \{0\}$ von $C(X)$ gegenüber $*$.

Lassen $U$ eine offene Nachbarschaft von sein $*$ im $C(X)$ mit kompaktem Verschluss $K \subset C(X)$. Wenn$p : X \times I \to C(X)$ bezeichnet dann die Quotientenkarte $V = p^{-1}(U)$ ist eine offene Nachbarschaft von $X \times \{1\}$ im $X \times I$. Für jede$x \in X$ Lassen $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Deutlich$0 \le f(x) < 1$ weil $V$ist offen. Außerdem$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. Die Funktion$f$ ist ober halbkontinuierlich: Let $f(x) < r$. Wählen Sie$t$ so dass $f(x) < t < r$. Dann$\{x \} \times [t,1] \subset V$ und so existiert eine offene Nachbarschaft $W_x$ von $x$ im $X$ so dass $W_x \times [t,1] \subset V$. Dann$f(y) \le t < r$ zum $y \in W_x$. Schon seit$f(x) < 1$ für alle $x$ und die konstante Funktion $1$ ist niedriger semikontinuierlich, ein Satz, der von Dowker (siehe "Über zählbar parakompakte Räume", Canadian Journal of Mathematics 3 (1951): 219-224 / Satz 4) und von Katetov (siehe "Über realwertige Funktionen in der Topologie" unabhängig bewiesen wurde Räume. "Fund. Math. 38 (1951): 85-91 / Satz 2) sagt, dass es eine kontinuierliche gibt $h : X \to \mathbb R$ eine solche $f(x) < h(x) < 1$ für alle $x$. Definieren$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Dies ist eine Einbettung: In der Tat die Einschränkung$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ ist eine Einbettung und $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$ist eine Einbettung. Außerdem,$H(X)$ ist geschlossen in $C(X)$ und $\bar h(X) \subset V$also $H(X) \subset U \subset K$. Wir schließen daraus$H(X)$ist kompakt. Deshalb$X$ ist kompakt.

Aktualisieren:

Der obige Satz besagt, dass ein normaler (einschließlich Hausdorff) Raum zählbar parakompakt ist $X$ Was nicht kompakt ist, kann keinen lokal kompakten Kegel haben.

Im Sonderfall von a$\sigma$-kompakt lokal kompakt Hausdorff $X$ Wir können einen alternativen Beweis liefern, der den obigen "Sandwich-Satz" nicht für obere und untere halbkontinuierliche Funktionen verwendet.

Also lass $C(X)$ lokal kompakt sein, $U$ eine offene Nachbarschaft von sein $*$ im $C(X)$ mit kompaktem Verschluss $K \subset C(X)$ und $V = p^{-1}(U)$ Das ist eine offene Nachbarschaft von $X \times \{1\}$ im $X \times I$.

Wir haben $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ mit kompakt $K_n \subset X$ so dass $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Es existiert offen$W_n \subset X$ und $t_n \in (0,1)$ so dass $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog können wir davon ausgehen, dass die Reihenfolge$(t_n)$nimmt nicht ab. Beachten Sie, dass$s_n = (1+t_n)/2$ ist enthalten in $(t_n,1)$. Lassen$B_n = \operatorname{bd} K_n$ Das ist kompakt (aber möglicherweise leer; in diesem Fall $K_n$ist geschlossen). Die Sätze$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ sind kompakt und enthalten die disjunkte Menge $B_n$ und $B_{n-1}$ (formal setzen wir $K_0 = \emptyset$). Wir konstruieren induktiv kontinuierlich$f_n : C_n \to I$ wie folgt: Für $n=1$ Lassen $f_1(x) = s_2$. Gegeben$f_1,\ldots, f_n$ so dass $f_i(x) = s_i$ zum $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ zum $x \in B_i$ und $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ für alle $x \in C_i$ wir verwenden den Urysohn-Satz, um zu finden $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ so dass $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ zum $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ zum $x \in B_{n+1}$ und $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ für alle $x \in C_{n+1}$. Die Sammlung all dieser$f_n$, $n \in \mathbb N$kann zu einem fortlaufenden eingefügt werden $f : X \to I$ mit der Eigenschaft, dass $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. In der Tat für$x \in C_n$ wir haben $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ und somit $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. Durch den Bau$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ ist eine geschlossene Teilmenge von $C(X)$ das ist homöomorph zu $X$ und als geschlossene Teilmenge von $K$, kompakt.