Warum multiplizieren sich Kovarianzmatrizen, die sowohl von rechts als auch von links projiziert werden?

Question

Ich habe in letzter Zeit viel Kalman-Filterarbeit geleistet. Ich habe alle Gleichungen ausgehend von einem grundlegenden linearen inversen Problem abgeleitet, also weiß ich genau genommen, woher alles kommt. Ich fand dieses bildlichere Beispiel auch lehrreich, um die Intuition zu festigen.

Aber ich kann mich nicht genau erinnern oder verstehen, warum ich eine Matrix projiziere, sagen wir Kovarianzmatrix$P$von einem Raum zum anderen, sagen wir Transformation $H$ist gegeben als $HPH^T$.

Es ist durchaus sinnvoll, einen Vektor durch Linksmultiplikation zu projizieren $Hv$.

Warum für Matrizen gibt es das extra $H^T$ rumhängen, sonst macht es die Dimensionen klappen?

Answer 1

Jetzt, wo ich wieder hinschaue, sehe ich die Identität

Und eine schnelle Wikipedia-Suche ergibt

Das funktioniert weil $X$ hat den Mittelwert 0, so dass der zweite Term in der Mitte verschwindet und der $A$ und $A^T$ kann aus der ersten Erwartung herausgerechnet werden, verlassen $AE[XX^T]A^T$, wo $E[XX^T] = \Sigma$.