Was genau verstehen wir unter „Dichte“ in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)? [Duplikat]
Im Allgemeinen ist die Dichte Masse / Volumen. Es wird auch für so etwas wie Bevölkerungsdichte verwendet, dh Bevölkerung / Flächeneinheit.
Welche Bedeutung hat die Wortdichte in PDF?
Antworten
Kurze Antwort: Wie bei der physikalischen Dichte ist die Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeit / Volumen.
Lange Antwort: Für homogene Objekte kann die Dichte wie folgt definiert werden:$m/V$mit $m$ bezeichnet Masse und $V$sein Volumen. Wenn Ihr Objekt jedoch nicht homogen ist, hängt die Dichte von den Raumkoordinaten innerhalb des Objekts ab:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$dh die Masse innerhalb eines infinitesimalen Volumens um die gegebenen Koordinaten, geteilt durch dieses infinitesimale Volumen. Stellen Sie sich einen Pflaumenpudding vor: Die Dichte an den Rosinen unterscheidet sich von der Dichte am Teig.
Für die Wahrscheinlichkeit ist es im Grunde das gleiche: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ wo $f$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) und $F$ die kumulative Dichtefunktion (CDF), so dass $\Delta F$ ist die infinitesimale Wahrscheinlichkeit im infinitesimalen Volumen $\Delta V$ in der Nähe von Koordinaten $(x, y, z)$ in dem Raum, über dem $F$ ist definiert.
Jetzt leben wir in einer physischen Welt mit drei Raumdimensionen, aber wir sind nicht darauf beschränkt, Wahrscheinlichkeiten direkt über dem Raum zu definieren. In der Praxis ist es weitaus üblicher, mit Wahrscheinlichkeiten zu arbeiten, die über eine einzige Dimension definiert sind, z.$x$. Dann vereinfacht sich das oben Gesagte$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Aber natürlich, abhängig von Ihrem Wahrscheinlichkeitsmodell, $F$ und $f$ kann über eine beliebige Anzahl von Dimensionen definiert werden.
Sie könnten das Radon-Nikodym-Derivat als formale Definition eines allgemeineren Begriffs der Dichte sehen.
Es ist das Verhältnis von zwei Maßen (die die umfangreiche Eigenschaft haben, sie sind additiv ), die auf demselben Raum definiert sind .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Dieses Verhältnis macht das Ein-Mengen-Maß $\nu$ eines Satzes $S$ ausdrückbar durch ein Integral über das andere Maß $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Typischerweise der Nenner $\mu$ist ein Maß, das auf einem metrischen Maß wie Entfernung, Fläche oder Volumen basiert . Dies ist üblich für Dichten in der Physik wie Massendichte, Energiedichte, Ladungsdichte, Teilchendichte.
Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann der Nenner allgemeiner ein anderer Variablentyp sein, der sich nicht auf den physischen Raum bezieht . Oft ist es jedoch bei der Verwendung des euklidischen Maßes oder des Lebesgue-Maßes ähnlich . Es ist nur so, dass die Variable keine Koordinate im physischen Raum sein muss.
Für eine einzelne kontinuierliche Zufallsvariable der Wert des PDF am Punkt $t$Sie erkennt die Dichte der Wahrscheinlichkeitsmasse in Einheiten von Wahrscheinlichkeitsmasse pro Einheit gemessen Länge an dem Punkt,$t$auf der realen Linie. Die Dichte der Wahrscheinlichkeitsmasse kann an verschiedenen Punkten der realen Linie unterschiedlich sein; es ist nicht ganz so einfach wie das Massen- / Volumenrezept der High-School-Physik.