Was sind „Griechen“ im Allgemeinen für nicht standardmäßige Optionen (Swaptions, Capfloors usw.)?
Ich weiß, was Griechisch für Standardoptionen ist: Nehmen Sie einfach die Ableitung in Bezug auf einige Parameter wie Spot, Zeit, Rate usw.
Aber wie berechnet man Griechen für Swaptions und Capfloors? Ich konnte nur Informationen über das Delta finden, aber was ist mit Gamma, Vanna, Theta, Rho?
Es scheint, dass nur Vega und Wolga einfach als gewöhnliches Griechisch zu berechnen sind, indem man die Volatilität unterscheidet, aber die anderen machen für mich nicht viel Sinn. Alle Informationen oder Verweise auf ein Buch / Papier, in dem dies behandelt wird, sind willkommen.
Besonders schwierig ist, dass die Methode offensichtlich davon abhängt, wie das Risikomanagement durchgeführt wird, und das ist mir auch nicht klar.
Antworten
Praktisch wenige Dinge im wirklichen Leben haben bequeme Berechnungen in geschlossener Form.
Stattdessen preisen Sie etwas Exotisches, dann stoßen Sie die verschiedenen Eingaben einzeln oder mehrere gleichzeitig um verschiedene kleine Beträge auf und ab und bewerten sie neu. Es gibt selten Abkürzungen. ( Autodiff kann manchmal eine Abkürzung sein.)
Dieser Wikipedia-Artikel enthält eine gute Liste häufig verwendeter Risikomessungen: https://en.wikipedia.org/wiki/Greeks_(finance)
Während der Modellvalidierung und der laufenden Überwachung der Modellleistung ermitteln Sie, welche Risikomaßnahmen wichtig sind (oder bei plausiblen großen Marktbewegungen wichtig werden können). Dann setzen Sie ihnen Grenzen und berechnen sie viel. Hier gibt es keine glamouröse Mathematik, nur viele automatisierte Brute-Force-Berechnungen.
Bearbeiten: danke KermittFrog für die Erinnerung, dass verschiedene Risikomaßnahmen für verschiedene Zwecke verwendet werden können. Hier ist ein Beispiel, das tatsächlich etwas Mathematik beinhaltet. Angenommen, Sie sichern Ihr Zinsrisiko mit ED-Futures bis zu 10 Jahren und IR-Swaps nach 10 Jahren ab. Sie passen Ihre IR-Kurve an die Absicherungsinstrumente an. Sie stoßen jedes Instrument an und passen die IR-Kurve wieder an. Sie bewerten jedes Instrument in Ihrem Portfolio unter jeder gestoßenen IR-Kurve neu. Die daraus resultierenden Sensitivitäten zeigen Ihnen, welche Vorstellungen von Absicherungsinstrumenten Sie dem Portfolio hinzufügen müssen, um das IR-Risiko zu reduzieren. Nehmen wir jedoch weiter an, dass Sie die Sensitivität für IR-Swap-Sätze von 1 bis 10 Jahren für die Überwachung von Marktrisikolimits sehen möchten. Da Sie diese Swap-Raten nicht für Ihre IR-Kurve verwenden, können Sie sie nicht einfach stören. Sie können jedoch berechnen, wie sich diese Swap-Sätze ändern, wenn sich die ED-Futures ändern, und die ED-Futures-Empfindlichkeiten Ihres Portfolios mit einem inversen Jacobi multiplizieren, um eine gute Schätzung der Sensitivitäten für 1-10 Swap-Sätze zu erhalten.
In Bezug auf die Buchfrage sollte ich die 4-bändige Marktrisikoanalyse von Prof. Carol Alexandar erwähnen , die wahrscheinlich ein Overkill ist. In den Kapiteln 7-9 von Leonardo Marroni, Irene Perdomo, werden auch Griechen über exotische Optionen diskutiert. Preisgestaltung und Absicherung von Finanzderivaten: Ein Leitfaden für Praktiker.
Wenn die Frage ist, wie man Griechen für Zinsoptionen definiert, dann ist dies eine relativ einfache Erweiterung des Konzepts von der Grundidee für beispielsweise Aktienoptionen. Sie sind definiert als Sensitivität gegenüber den Inputs, die für die Bewertung einer Option verwendet werden. Jedes halbwegs anständige Zinsderivatbuch (z. B. Suche nach Zinsmodellierung bei Amazon) sollte es ausführlich behandeln. Da Eingaben in Zinsmodelle grundsätzlich mehrdimensional sind, ist die gesamte Zinskurve eine Eingabe. So werden Griechen mehrdimensional. Es ist üblich, sich Delta als einen Vektor vorzustellen (Empfindlichkeit für jeden Terminkurs in der Zinskurve), Gamma ist eine Matrix usw. usw. Dann werden verschiedene Aggregationen verwendet, um sie für den Menschen leichter verständlich zu machen, z. B. könnten Deltas summiert werden bis zu einem "parallelen" Delta usw.
Bei Zinsoptionen im europäischen Stil wie Swaptions, bei denen sie als Option auf einen einzelnen Zinssatz (z. B. einen bestimmten Swapsatz für eine Swaption) bewertet werden, kann von „Asset Delta“ gesprochen werden, einer Sensitivität der Option gegenüber dem Änderung dieser spezifischen Rate (sehr ähnlich dem Black-Scholes-Delta). Auch diese sollten als Aggregationen als die "grundlegenden" Deltas mit Eimern angesehen werden.
Wenn die Frage, ob man verschiedene Griechen für Zinsmodelle in geschlossener Form berechnen kann, ist dies aufgrund der von mir erwähnten inhärenten Mehrdimensionalität noch seltener als bei beispielsweise Aktienoptionen.