Zeige, dass $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ hat eine einzigartige Lösung auf $\mathbb{R}$

Question

Zeige, dass $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ hat eine einzigartige Lösung auf $\mathbb{R}$.

Dies ist ein Spin-off eines der Probleme in Berkeley Problems in Mathematics.

Meine Lösung (Versuch) ist viel kürzer als die von den Autoren präsentierte (sie zeigen, dass es in einer Nachbarschaft von eine einzigartige Lösung gibt $(0,54)$ Verwenden Sie eine lokale Version von Picards Theorem und verwenden Sie dann IFT, um eine explizite Lösung für diese Nachbarschaft zu finden und zu beweisen, dass diese Lösung für gültig ist $\mathbb{R}$) also wollte ich überprüfen, ob ich etwas verpasst hatte.

Hier ist meine Lösung:

Lassen $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Fix$h >0$. Durch grundlegende Eigenschaften kontinuierlicher Funktionen$f$ ist kontinuierlich auf $[-h,h] \times \mathbb{R}$ und außerdem Lipschitz in $y$auf diesem Streifen. Dies folgt aus,

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ und die MVT.

Picards Theorem gilt und wir sehen, dass das IVP eine einzigartige Lösung hat $[-h,h]$.

Aber $h$ war willkürlich, so dass die IVP eine Lösung für alle hat $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Ist das richtig? Im Allgemeinen bin ich mir nicht sicher, wie ich die Einzigartigkeit / Existenz globaler Lösungen beweisen soll ... analytische Fortsetzung oder globaler Picard?!

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Beachten Sie, dass die Version von Picards Theorem, die ich verwende, ist

Die IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$hat eine einzigartige Lösung auf $\mathbb{R}$ unter der Voraussetzung, $\forall h:$

• $f$ ist kontinuierlich auf $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

• $f$ ist Lipschitz in y on $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

Answer 1

Ihre Idee ist richtig. Mit einer sublinearen rechten Seite erhalten Sie eine globale Lösung. Die Beweisidee wird zum Beispiel in untersucht

• Vorhandensein einer Lösung für ODE erster Ordnung. Was ist zu beweisen?
• Ungleichheit beim Nachweis der eindeutigen Lösung einer ODE

Das Problem mit Ihrer Quelle könnte sein, dass sie sich nicht die Mühe gemacht haben, diese globalere Version des Theorems nach der lokalisierten Standardversion zu beweisen. Daher müssen sie die Lösung aus vielen lokalen Lösungen zusammensetzen.

Beachten Sie, dass Sie mit der Formulierung Ihres Zustands nur eine Lösung erhalten $[a-h,a+h]$Dies sollte nicht überraschen, da dies die erforschte Domäne der ODE ist.