Zeigen Sie das für $a_i>0$ und $n \ge 2$ :: $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [Duplikat]

Question

Zeigen Sie das für $a_i>0$ und $n \ge 2$ Folgendes gilt: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$

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Ich weiß, dass die rechte Seite tatsächlich ist: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ Welches kann geschrieben werden als:

$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ Was leicht dem Ergebnis folgt. Auch kann man Induktion an verwenden $n$: Der Basisfall ist wahr seit $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$

Angenommen, die Beziehung gilt für $n$ und multiplizieren Sie beide Seiten der Beziehung mit $(1+a_{n+1})$::

$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$

Zeigt, dass der Anspruch für alle gilt $n \ge 2$.

Ist das, was ich getan habe, wahr und gibt es einen besseren Weg?

Answer 1

Wenn $a_k>0$, dann $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ In ähnlicher Weise tun Sie dies wiederholt, um zu erhalten $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$