Zeigen Sie, dass es existiert$x_0$so dass$p(x_0) < q(x_0)$für die gegebenen Polynome

Question

Wenn$p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$und$q(x) = x^2+px+q$seien zwei Polynome mit reellen Koeffizienten. Angenommen, es existiert ein Intervall$(r,s)$mit einer Länge größer als 2, so dass beide$p(x)$und$q(x)$sind negativ für$x \in (r,s)$und beide sind positiv für$x<r$oder$x>s$. Zeigen Sie, dass es existiert$x_0$so dass$p(x_0) < q(x_0)$

Seit$q(x)$ist also quadratisch$r$und$s$müssen die Wurzeln sein.

aber,$r$und$s$sind auch die Wurzeln von$p(x)$Also,$q(x)$muss ein Faktor sein$p(x)$, deshalb

$p(x) = q(x)g(x)$

Wo$g(x)$ist auch quadratisch. Aber so weit konnte ich nicht kommen. Wie geht es hier weiter? Wie nutzen Sie die Bedingung$s-r > 2$?

Jede Hilfe wäre willkommen.

Answer 1

$r$und$s$sind Wurzeln von beidem$p(x)$und$q(x)$und daher ist es auch die Wurzel von$p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$wo$|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Angenommen$p(x) - q(x)$ist immer nicht-negativ, aber angesichts seiner Wurzeln sind$r$und$s$, es ist nur möglich, wenn$f(x)$ist immer negativ$q(x)$ist und$f(x)$ist immer positiv$q(x)$ist.

Das heißt, es hat doppelte Wurzeln bei$r$und$s$dh$p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

dh$p(x) - q(x) = q(x)^2$

dh$p(x) = q(x)(q(x)+1)$

dh$1+q(x) \gt 0$wie$p(x)$und$q(x)$überhaupt das gleiche Vorzeichen haben$x$.

dh$x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Dies kann als Diskriminante nicht wahr sein$(r-s)^2 - 4 \gt 0$wie im Problem angegeben. Es gibt also einen Wert von x wo$p(x) \lt q(x)$.

[Hinweis: Funktion$ax^2+bx+c$hat zwei echte Wurzeln, wenn es sich um eine Diskriminante handelt$b^2-4ac \gt 0$]