Calculer la limite$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

Je dois calculer la limite$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

En fait, j'ai un moyen de solution, mais cela devrait être une réponse de 60 secondes ou moins (à partir d'un examen avec beaucoup plus de questions)

Alors je me demande s'il y a un moyen plus simple ou je devrai juste réfléchir plus vite.

Voici ce que j'ai essayé :

pour$ x\to \infty $aussi$ t\to\infty $et$ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $afin que nous puissions prendre l'expansion de taylor de$ cos $autour de$ 0 $:

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $Donc:

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

et aussi$ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $Donc

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

à présent:

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Et$ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

Ainsi$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

Il m'a fallu beaucoup de temps pour y penser, s'il y avait des moyens/astuces ou astuces plus simples pour le faire plus facilement, ce serait vraiment utile.

Merci d'avance

Answer 1

Il existe un moyen plus simple. Si$x$est assez grand alors$0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$pour tous$t \in (x,2x)$. Ainsi$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$. Il suffit donc de trouver la limite de$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $lequel est$\ln 2$par calcul direct.