Comment savoir si ce sont les mêmes?

Question

Dans l'article wikipedia pour l' équation cubique , la racine peut être obtenue par:

$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$

Où $\Delta_0=b^2-3ac$ et $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$. Également,$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$.

Dans un autre site Web , il existe une autre solution racine:

$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$

J'ai mis ce dernier dans Wolphram | Alpha pour l'évaluer. la$\Delta_1$peut être vu dedans; mais je n'ai aucune idée de comment le découvrir et la solution précédente est la même.

Answer 1

Définir:

$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$

(Voir la figure 1 de cet article de Nickalls: http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)

La deuxième expression que vous avez présentée peut alors être écrite comme

$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$

ou pour $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Dans la première expression que vous avez présentée, nous avons

$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$

pour que l'expression devienne

$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$

ou pour $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$

qui, après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur de ce dernier terme entre parenthèses par $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$

devient

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Alors oui, ces deux expressions pour les racines du cube que vous avez trouvées sont équivalentes.

Maintenant, je vous encourage à jeter toute cette solution classique pour les racines d'un cube , et à plutôt apprendre l'approche de Nickalls telle que présentée par Nickalls et développée par Holmes:

http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf

https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf