Décomposition d'un morphisme avec des fibres de dimension positive
Il est bien connu que tout morphisme birational entre variétés projectives est une séquence d'explosions. Supposons maintenant que j'ai un morphisme$f:X \to Y$ avec des fibres de dimension positive, c'est-à-dire un faisceau projectif sur un sous-ensemble ouvert de $Y$. On peut même supposer$Y$lisse, même si je ne pense pas que ce soit nécessaire. Est-ce toujours vrai que$X$ est l'explosion d'un faisceau projectif sur $Y$?
Réponses
Je poste mon commentaire en guise de réponse. Cela échoue déjà pour la dimension relative$1$ lorsque le schéma de base a une dimension $n$ au moins $3$.
Laisser $k$être un champ. Laisser$n\geq 3$être un entier. Dénoter$\text{Proj}\ k[x_0,x_1,x_2, \dots,x_n]$ par $\mathbb{P}^n_k$. Dénoter$\text{Proj}\ k[y_0,y_1,y_2]$ par $\mathbb{P}^2_k$. Dénoter par$X$ l'hypersurface dans $\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k$ avec une équation de définition bihomogène, $$f=x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2.$$ La projection de $X$ à $\mathbb{P}^2_k$ est un faisceau spatial projectif Zariski-localement trivial de dimension relative $n-1$. En particulier,$X$ est un lisse $k$-schème. Par le théorème de Grothendieck-Lefschetz sur les groupes de Picard de SGA 2, l'homomorphisme de restriction des groupes de Picard est un isomorphisme,$$\text{res}:\text{Pic}(\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k) \xrightarrow{\cong} \text{Pic}(X).$$ Bien sûr, le premier groupe picard est $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. De plus le cône nef dans le premier groupe picard est$\mathbb{Z}_{\geq 0}\times \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Une manière de voir ceci est de considérer la restriction de larges poulies inversibles aux courbes rationnelles linéaires ("lignes") dans les fibres de chaque projection. Depuis le sous-schéma fermé$X$ contient également de telles lignes, il s'ensuit que l'isomorphisme de restriction induit également un isomorphisme des cônes nef.
En particulier, le grand cône de $X$ équivaut à $\mathbb{Z}_{>0}\times \mathbb{Z}_{>0}$, de sorte que les diviseurs nef non amples sont ceux dans la "limite" du cône nef, c'est-à-dire, $$\{(0,0)\}\sqcup \left(\mathbb{Z}_{>0}\times \{0\}\right) \sqcup\left( \{0\}\times \mathbb{Z}_{>0}\right). $$ La gerbe inversible dans le premier composant de cette partition de la frontière est juste la gerbe de structure, et la contraction associée de $X$ est la constante $k$-morphisme en $\text{Spec}\ k$. Le deuxième composant donne la projection à$\mathbb{P}^2_k$, et le troisième composant donne la projection à $\mathbb{P}^n_k$. Puisqu'aucune de ces contractions n'est birationales, il s'ensuit que$X$ n'est pas une explosion d'un schéma projectif, sauf comme une "explosion" qui est un isomorphisme.
Ainsi, le morphisme de projection de $X$ à $\mathbb{P}^n$ne prend pas en compte une explosion non triviale. La restriction de cette projection est plate sur le sous-schéma fermé$\text{Zero}(x_0,x_1,x_2)$, et la restriction est plate sur le complément ouvert de ce sous-schéma fermé. Cependant, la dimension de la fibre sur le sous-schéma fermé est$2$, alors que la dimension de la fibre sur le sous-schéma ouvert est $1$. Ainsi, cette projection n'est pas un faisceau spatial projectif, bien qu'il s'agisse d'un faisceau spatial projectif de dimension relative$2$, resp. de dimension relative$1$, lorsqu'il est restreint sur le sous-schéma fermé, resp. sur le sous-schéma ouvert.