Intuitivement, quelle est la superposition / différence générale entre les transformations conformes et orthogonales, ou les termes en général?
J'ai eu du mal à trouver une définition claire des différences entre les deux en termes pratiques / géométriques. Les transformations orthogonales étant celles que les surfaces ou trajectoires coordonnées se rencontrent à angle droit, et les transformations conformes étant celles qui préservent les angles.
Je peux voir comment les notions se chevauchent et avoir une vague intuition sur la façon dont elles sont différentes, mais j'ai du mal à clarifier leur distinction exacte, en particulier dans le contexte du calcul différentiel / vectoriel par rapport à des concepts comme le jacobien et ses propriétés de préservation de zone , équations différentielles pour trajectoires orthogonales, transformées intégrales, etc.
Ou en termes plus directs, quand quelque chose d'orthogonal mais non conforme, et vice versa, et quand sont-ils tous les deux?
Réponses
Une carte linéaire conforme est la composition d'une homothétie (étirement) et d'une carte linéaire orthogonale.
La partie la plus importante de l'intuition est la suivante: les transformations orthogonales spéciales sont des rotations. Les transformations orthogonales sont des rotations plus des réflexions. Les transformations conformes sont des rotations plus des dilatations. Les transformations conformes et anticonformales sont des rotations plus des dilatations plus des réflexions.
Mathématiquement parlant, cela signifie: les transformations orthogonales préservent le produit scalaire. Des transformations orthogonales spéciales préservent également l'orientation (déterminant positif). Les transformations conformes et anticonformales préservent les angles. Les transformations conformes préservent également l'orientation (déterminant positif). Plus précisément, les transformations orthogonales$T$ satisfaire
$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$
tandis que les transformations orthogonales spéciales satisfont en outre
$$\det T>0.$$
On peut même montrer que les transformations orthogonales satisfont déjà $\det T=\pm1$, faisant $\det T=1$pour des transformations orthogonales spéciales. Transformations conformes et anticonformales$S$ satisfaire
$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$
(pour $v,w\neq0$) tandis que les cartes conformes satisfont en outre $\det S>0$. On peut montrer que cela rend les transformations (anti) conformes égales aux cartes orthogonales multipliées par une constante non nulle. Les transformations (anti) conformes sont donc des transformations orthogonales avec une dilatation supplémentaire. Si nous appelons les différents groupes contenant ces transformations$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (orthogonale et orthogonale spéciale), $\operatorname{CO}$ (conforme plus anticonformal), et $\operatorname{CSO}$ (juste conforme), alors nous avons les relations suivantes:
$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$
où $I$ est le groupe des dilatations.