La règle de la chaîne est-elle valable pour les dérivés généraux?
Pour l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ nous avons des dérivées partielles, qui obéissent à la règle des chaînes, par exemple:
laisser $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, supposons une base standard pour $\mathbb{R}^n$ est $x^i$ et base standard pour $\mathbb{R}^m$ est $y^j$Donc pour la composition nous avons:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
qui est la règle de chaîne standard.
Considérons maintenant la dérivée du cas général comme une application linéaire entre l'algèbre $v:A\to B$ avec $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
Dans ce cas, la règle en chaîne pour la composition $v(f\circ g)$tenir toujours? Il semble que non?
(nous savons pour différentiel $dF_p:T_pM\to T_p N$ la règle de la chaîne est toujours valable)
Réponses
Dans le cas des variétés lisses, ce que vous appelez la règle de la chaîne est une manifestation de la fonctorialité du foncteur prenant une variété avec un point marqué $(M,p)$ à son espace tangent $T_pM$ et prendre une carte fluide de ces objets $f:(M,p)\to (N,q)$ au différentiel associé $df_p:T_pM\to T_qN$. La fonctionnalité dit que, étant donné une composition$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ il y a une relation $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. Dans un langage moins abstrus, cela dit simplement que le différentiel de la composition est la composition des différentiels. Mettre cela en termes concrets, étant donné$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ comme ci-dessus, on sait que les différentiels sont respectivement $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ et $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ où les coordonnées sur le premier espace sont $x^1,\ldots, x^n$ et les coordonnées sur le deuxième espace sont $y^1,\ldots, y^m$ et la première matrice est $m\times n$, et le second est $1\times m$. Le composite du différentiel est la multiplication de ces matrices, qui est au moment où vous écrivez$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ où c'est un $1\times n$ matrice.
La question que vous posez est différente. Disons que$A$ et $B$ sont $k-$algèbres pour certains domaines $k$. Puis un morphisme$v:A\to B$ lequel est $k-$linear et Leibniz (ie $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) est un type d'opérateur différentiel. Cependant, ici, la signification de la règle de la chaîne n'est pas claire. La règle de chaîne est ce qui se produit lorsque nous appliquons un opérateur différentiel à un composite de fonctions dans notre paramètre de variété. Dans ce cas,$f\circ g$ n'a même pas de sens a priori.
Je fais la proposition suivante: Étant donné une catégorie d'espaces géométriques $\mathscr{C}$, et une "fonction" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, attribuer à chaque espace $X$ une structure algébrique $F(X)$, on dit que $F$obéit à une règle de chaîne si$F$ est fonctionnel au sens de ci-dessus: étant donné $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ nous avons $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. C'est certes un peu vague, mais cela illustre ce que nous avons «utilisé» pour définir la règle de la chaîne.