La séquence des épimorphismes de groupes résiduellement finis se stabilise
Laisser $G_1 \to G_2 \to \cdots$être une séquence d'épimorphismes de groupes résiduellement finis finis. Est-ce qu'il finit par se stabiliser? Autrement dit, tous les épimorphismes sauf un nombre fini sont-ils réellement des isomorphismes?
Notez que les groupes finis résiduellement finis sont hopfiens, donc cela exclut le simple contre-exemple de chaque $G_i$ étant un groupe fixe et chaque épimorphisme étant un groupe fixe sur lui-même.
Le résultat analogue est valable lorsque les groupes sont résiduellement libres: c'est la proposition 6.8 de Charpentier Guirardel "Limiter les groupes comme limites des groupes libres" . La preuve utilise uniquement le fait que les groupes résiduellement libres sont résiduellement$SL_2(\mathbb{C})$, et il semble qu'il puisse être adapté au cas où chaque $G_i$ est résiduel $GL_n(\mathbb{C})$ pour un fixe $n$. Il semble peu probable que cela soit vrai pour les groupes finis généraux: le théorème de Jordan-Schur implique que pour un groupe fini général, le degré minimal$n$ de telle sorte qu'il s'intègre dans $GL_n(\mathbb{C})$ peut être arbitrairement grande.
Y a-t-il une autre façon d'adapter la preuve? Y a-t-il un contre-exemple?
Réponses
La réponse est non". Le groupe des lampes (qui est présenté à l'infini) est une limite d'une suite de groupes virtuellement libres et d'homomorphismes surjectifs (voir, par exemple, cette question et ses réponses ). Tous les groupes virtuellement libres sont finis de manière résiduelle.
Dans la même veine que la réponse de dodd, un contre-exemple peut également être déduit du deuxième groupe de Houghton $H_2$, qui est défini comme le groupe de bijections $L^{(0)} \to L^{(0)}$ qui préserve la contiguïté et la non-adjacence pour toutes les paires de sommets sauf finies dans la ligne bi-infinie $L$. Une présentation de$H_2$ est $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ où $t$ correspond à une traduction unitaire et $\sigma_i$ à la permutation $(i,i+1)$. Maintenant, tronquez la présentation et définissez$G_n$ passant par $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ En utilisant les relations $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ afin de retirer les générateurs $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ et $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, on retrouve la présentation suivante de $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Observez de cette présentation que $G_n$ se décompose comme une extension HNN de $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ qui s'avère isomorphe au groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n+2}$, où la lettre stable se conjugue $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ à $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Ainsi, en tant qu'extension HNN d'un groupe fini,$G_n$ doit être pratiquement gratuit.
La conclusion est que les cartes de quotient canonique $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ définit une séquence d'épimorphismes entre des groupes virtuellement libres qui ne se stabilise pas.
Remarque: en reproduisant l'argument ci-dessus presque mot pour mot avec le groupe des lampes$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ au lieu du groupe Houghton $H_2$fournit la même conclusion. La raison en est que ces groupes ont une structure similaire: ils sont de la forme$C \rtimes \mathbb{Z}$ pour un groupe de Coxeter localement fini $C$ où $\mathbb{Z}$ agit sur $C$ via une isométrie du graphe définissant $C$. (En gros, tous les autres groupes de cette forme peuvent être récupérés à partir de$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ et $H_2$, il n'y a donc pas d'autres exemples intéressants dans ce sens.)