Pour prime $p \ge 5$ il existe un $n$ avec $2 \le n \lt p -1$ avec $[n]$ une racine primitive d'unité de $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$.
Laisser $p$ être un premier satisfaisant $p \ge 5$.
Est-ce que ce qui suit est vrai?
Il existe un entier $n$ satisfaisant
$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $[n]$ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$(c'est à dire $[n]$ est une racine primitive de l'unité)
Si l'énoncé est vrai, il y a une question de suivi,
Y a-t-il un nombre premier qui peut être choisi pour $n$?
Mon travail
J'ai «joué» dans la théorie des nombres au point que c'est maintenant une «chose sûre» intuitive, mais tout peut être détruit par un contre-exemple. Puisque, si c'est vrai, la réponse pourrait être impliquée, j'ai ajouté la balise de demande de référence . J'ai également ajouté la balise de conjecture, mais je la supprimerai si elle devient intenable à partir des commentaires que je reçois.
Réponses
D'accord, j'ai compris le cas général. Je vais quand même laisser mon autre réponse.
Rappeler que $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$.
En particulier chaque racine primitive $\alpha$ mod $p$ a exactement un ascenseur $\hat{\alpha}$ mod $p^2$ qui n'est pas primitive et correspond à celui qui vit dans le $\{e\} \times C_{p-1}$sous-groupe dans l'isomorphisme ci-dessus. Nous pouvons voir de cela que si$\hat{\alpha}$ est un mod primitif $p$ mais pas mod $p^2$ que son mod multiplicatif inverse $p^2$ (lequel est $\hat{\alpha}^{p-2}$ dans ce cas) est également mod primitif $p$ mais pas mod $p^2$.
Ok maintenant supposons $\alpha < p$ est un mod racine primitif $p$ mais non $p^2$. Considérez le numéro unique$\beta < p$ tel que $\alpha \beta \equiv 1$ mod $p$. Je prétends que$\beta$ doit être un mod racine primitif $p^2$. Supposons que non, alors$\beta$ doit être l'inverse de $\alpha$ mod $p^2$ puisqu'il existe un élément non primitif unique congruent à $\beta$ mod $p$, et nous connaissons l'inverse de $\alpha$est une. Cependant depuis$\alpha < p $ et $\beta < p$ nous avons ça $\alpha \beta < p^2$, donc ils ne peuvent pas être des inverses.
Voici une preuve de quand $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$:
Notez d'abord que si $p \equiv 1 \mod 4$ puis $\alpha$ est un mod racine primitif $p$ iff $-\alpha$est. Supposer$(-\alpha)^b \equiv 1$ pour certains $b < p-1$. Si$b$ même alors nous aurions $\alpha^b \equiv 1$, ce qui est une contradiction car $\alpha$est primitif. Si$b$ étaient bizarres alors $\alpha^b \equiv -1$, ce qui n'arrive que lorsque $b = \frac{p-1}{2}$ mais ce n'est pas étrange depuis $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$.
Bon alors maintenant regardons mod $p^2$. Je prétends que si$\alpha < p$ est un mod racine primitif $p$ puis au moins un des $\alpha$ ou $p-\alpha$ est un mod primitif $p^2$.
Depuis $\alpha$ et $p-\alpha$ sont des mods primitifs $p$, puis mod $p^2$ ils sont soit primitifs, soit ils ont de l'ordre $p-1$. Supposons que nous ayons les deux$\alpha^{p-1}$ et $(p-\alpha)^{p-1}$ sont congruents à $1$ mod $p^2$. En développant cela avec le théorème binomial, nous obtenons:
$$1 \equiv (p-\alpha)^{p-1} \equiv -\binom{p-1}{1}pa + \alpha^{p-1} \equiv -(p-1)p\alpha +1$$
Ce qui signifie $(p-1)p\alpha$ est divisible par $p^2$, mais c'est une contradiction puisque $p$ est premier et $\alpha < p$.