Pourquoi une fonction injective continue de$\mathbb R$sur$[-1, 1]$avoir un inverse discontinu?

Question

Ici @Ian dit qu'il y a une propriété particulière de$\mathbb R$et des intervalles qui empêchent une hypothétique fonction injective continue de$\mathbb R$sur$[-1, 1]$d'avoir un inverse discontinu. Quelle est cette propriété ?

Answer 1

Une carte injective continue$f$entre deux intervalles réels est monotone. Si$f$est également sur, l'image directe de tout intervalle ouvert est un intervalle ouvert (pour la topologie induite sur$[-1,1]$).

D'où l'image inverse de tout intervalle ouvert sous$f^{-1}$est ouvert. Prouver que$f^{-1}$est continue.

Answer 2

Tel$f$ne peut pas exister. Envisager$f(x)=1$, laisser$a<x<b$, supposer$f(a)<f(b)$,$f([a,x])$est un intervalle puisque l'image d'un ensemble connexe par une application continue est connexe, il contient$f(a)$et$f(x)=1$, puisque$f(a)<f(b)<1$, il contient$f(b)$. Il existe$c\in [a,x]$tel que$f(x)=f(b)$. contradiction.

Si$f(b)<f(a)$,$f([b,x])$est un intervalle qu'il contient$f(a)$contradiction.