Si deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont dépendants alors doivent $X_1^2$ et $X_2^2$ être dépendant?

Question

Si deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont dépendants alors $X_1^2$ et $X_2^2$ être dépendant.

Je pense que cette affirmation est fausse. Étant donné que$X_1$ et $X_2$ être dépendant implique

$\sigma(X_1)$ dépend de $\sigma(X_2)$ c'est-à-dire que les algèbres sigma générées par chaque RV sont dépendantes, mais puisque $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ et $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ la réduction pourrait potentiellement conduire à des algèbres sigma indépendantes.

Le contre-exemple que j'ai trouvé est

laisser:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ et $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Notez que ces deux variables aléatoires sont très dépendantes, mais quand je fais la quadrature $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ et $X_1|X_1=1$ainsi les deux variables aléatoires au carré sont indépendantes. Ce son de contre-exemple est-il?

Answer 1

Votre contre-exemple fonctionne, pensé depuis votre $X_2^2$ est constant ce n'est pas très révélateur, car il est indépendant de tout

Un autre pourrait être d'avoir $A$ et $B$ indépendamment standard normal (moyenne $0$, variance $1$) et

$X_1=A$ tandis que $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

ensuite $X_1$ et $X_2$ sont des distributions normales corrélées positivement tandis que $X_1^2$ et $X_2^2$ sont des distributions chi-deux indépendantes