Torsion et contrainte de flexion calculées à partir de la déformation
J'ai besoin d'aide pour vérifier un calcul que j'ai fait. Je veux savoir s'il est possible d'utiliser cette méthode ou si j'utilise une hypothèse erronée. Laissez-moi vous expliquer le problème, une poutre avec une longueur$l$est fixé à une extrémité. Une force$F$ un instant $M_v$est appliqué à l'extrémité de la poutre, voir la figure ci-dessous. La poutre a une section transversale circulaire. En raison de la force, l'extrémité de la poutre déformera une longueur$\delta$. Seule la flèche est connue et les paramètres géométriques, tels que la longueur et le diamètre.
En utilisant la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli, la déflexion peut être exprimée comme suit:
$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$
Où $E$ est le module de Young du matériau et $I$ l'inertie, qui est $I=\frac{\pi d^4}{64}$pour une section circulaire scross. Ici$d$ est le diamètre du faisceau.
Insérer l'inertie dans (1) et la réorganiser comme une expression de $F$ donne:
$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$
Cela peut être inséré dans la formule générale de la contrainte de flexion maximale dans une section transversale
$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$
Ici, la résistance à la flexion pour une section circulaire a déjà été insérée dans la formule et le moment de flexion a été remplacé pour le moment maximum qui est $Fl$.
C'est la partie sur laquelle je ne suis pas si sûr, j'utilise la force de (2) et je l'insère dans (3) pour obtenir la contrainte maximale. Veuillez me faire savoir si cela est possible ou si je fais une erreur.
De plus, la contrainte de cisaillement peut être calculée à partir de $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ où $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$, qui est la résistance à la torsion du matériau. Je procède ensuite à l'utilisation du critère d'élasticité de von Mises pour obtenir une estimation de la contrainte maximale dans le matériau.
$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
Comme je l'ai déjà demandé, je suis principalement intéressé si c'est une façon possible de résoudre ce problème ou si j'utilise des méthodes / hypothèses qui sont fausses.
Réponses
En général, ce que vous faites est correct. En supposant que vous ayez des déformations suffisamment petites (par flexion ou torsion), vous pouvez résoudre les problèmes indépendamment. C'est à dire:
- Calculez la force requise pour obtenir la flexion exactement comme vous l'avez fait. $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
- Calculez l'amplitude de la contrainte de cisaillement.
Mises en garde
Cependant, à partir de ce moment, il y a quelques mises en garde. En ce qui concerne:
a) flexion : la magnitude maximale de la contrainte normale que vous calculez se situe en haut et en bas de la poutre. Tout point sur l'axe neutre doit avoir une magnitude de zéro.
b) cisaillement de torsion : la grandeur à la distance$\frac d 2$est constante mais la direction change. voir l'image suivante:
la magnitude de la contrainte de torsion maximale est correctement:
$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$
c) Cisaillement : Bien que généralement écarté, il existe également une contrainte de cisaillement associée à$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. Normalement, c'est très petit, mais aussi il a une direction constante (vers le bas dans cette occasion).
Le point à retenir est que vous devez ajouter en tant que vecteurs $\tau_s$ et $\tau_t$. Par conséquent, à différents moments du matériau, vous auriez des valeurs différentes. Compte tenu de l'image 1 et en prenant les points A, B, C, D dans le sens anti-horaire, la contrainte de cisaillement résultante sera:
- au point le plus à droite (le point A (+ x, y = 0) sera $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
- au point le plus haut (le point B (x = 0, + y) sera $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
- au point le plus à gauche (le point C (-x, y = 0) sera $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
- au point le plus bas (le point D (x = 0, + y) sera $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
Stress maximum
Donc, l'essentiel concerne votre équation des Von Mises. Quelles valeurs branchez-vous$\sigma$ et $\tau$.
Vous devez passer par chaque point et appliquer la contrainte correspondante:
- Point A, utilisez $\sigma_{A} = 0$ et $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
- Point B (et D), utilisez $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ et $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
- Point C, utilisez $\sigma_{A} = 0$ et $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$
Malheureusement, ce ne sont pas les seuls points à vérifier. Par exemple, vous devriez vérifier au moins à$\pm 135$ degrés (dans cette quadrature de l'image $\tau_s $ et $\tau_t$ne vous annulez pas). Mais c'est l'idée.