Un isomorphisme sur la fonction normale sur l'algèbre de von Neumann

Question

La question provient du livre de Pedersen "C * -algebras and their automorphism groups" (P55 Def. 3.6.5).

Si $M$ est une algèbre de von Neumann en $B(H)$, laisse le $T(H)$ désignent les éléments dans $B(H)$ de la classe de trace et de l'ensemble $N=\{x\in T(H)|~ Tr(ux)=0, \forall u\in M \}$. Prouver:$T(H)/N\cong M_*$ (isomorphisme isométrique), le $M_*$ désigne toutes les fonctionnelles normales sur $M$.

Preuve. À partir du théorème 3.6.4 du livre de Pedersen, nous pouvons établir une carte naturelle à partir de$T(H)/N$ à $M_*$ par $$T(H)/N\longrightarrow M_*$$ $$x+N\longmapsto \phi$$ où $x$ est un opérateur de classe trace tel que $\phi(y)=Tr(xy)$ pour $y\in M$. Il est facile de voir que cette carte linéaire est bijective. Et je peux vérifier$||x+N||_1\leq||\phi||$ par la définition de $||.||_1$ et décomposition polaire de $M$. Cependant, comment prouver$||x+N||_1\geq||\phi||$? (Ici le$||.||_1:=Tr(|.|)$).

Answer 1

Tout d'abord, notez que nous avons, pour $a\in B(H)$ et $b\in T(H)$, l'inégalité de Hölder $$\tag1 |\operatorname{Tr}(ab)|\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). $$ En effet, l'écriture $b=v|b|$ la décomposition polaire, nous avons par Cauchy-Schwarz \begin{align} |\operatorname{Tr}(ab)|&=|\operatorname{Tr}(av|b|^{1/2}\,|b|^{1/2})| \leq\operatorname{Tr}(|b|^{1/2}v^*a^*av|b|^{1/2})^{1/2}\operatorname{Tr}(|b|)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\|v^*a^*av\|^{1/2}\,\operatorname{Tr}(|b|)=\|av\|\,\operatorname{Tr}(|b|)\\[0.3cm] &\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). \end{align}

Parce que la carte de quotient est un $*$-homomorphisme, donné $z\in N$ on a $|x+z|=|x|+w$ pour certains $w\in N$. Puis si$\|y\|=1$ et $x=v|x|$ est la décomposition polaire, $$ |\operatorname{Tr}(xy)|=\operatorname{Tr}(v^*|x|y)=\operatorname{Tr}((|x|+w)yv^*) =\operatorname{Tr}(|x+z|v^*y)\leq\|v^*y\|\,\operatorname{Tr}(|x+z|) \leq\operatorname{Tr}(|x+z|). $$ Comme cela peut être fait pour tout $z\in N$, on a $$\|\phi\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(xy)|:\ y\in M,\ \|y\|=1\}\leq\|x+N\|_1. $$