$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4$ untuk sisi segitiga $a,b,c$ dengan $ab+bc+ac=1$

Question

Mengingat bahwa $a,b,c$ adalah panjang ketiga sisi segitiga, dan $ab+bc+ac=1$, pertanyaannya adalah untuk membuktikan $$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4\,.$$

Ide atau petunjuk apa pun akan dihargai.

Ini adalah Soal 6 Putaran 1 BMO (British Mathematical Olympiad) 2010/2011, seperti yang bisa dilihat di sini .

Ucapan. Pertanyaan ini telah dijawab sendiri . Namun demikian, pendekatan baru selalu diterima!

Answer 1

Petunjuk: Memperluas LHS memberi kita$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+ab+bc+ca+abc+1.$

Sekarang, $(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc$.

Menambahkan kedua identitas tersebut, kita dapatkan $$\prod_{cyc}(1+a)+\prod_{cyc}(1-a)=4$$

Answer 2

Berkat petunjuk SarGe, sekarang saya tahu cara mengatasinya. Saya memposting di bawah ini bagian solusi yang lain mengikuti petunjuk SarGe untuk referensi di masa mendatang.

Pertanyaannya direduksi menjadi bukti $(1-a)(1-b)(1-c)\ge0$. Asumsikan sebaliknya. Kalau begitu$a,b,c\gt1$, atau hanya satu dari $a,b,c$ lebih besar dari 1 (katakanlah $a$). Kasus pertama tidak mungkin karena bertentangan$ab+bc+ac=1$jelas. Untuk kasus terakhir, menerapkan pertidaksamaan segitiga,$b+c\gt a\gt1$, lalu $ab+bc+ac=a(b+c)+bc\gt1$yang merupakan kontradiksi. Dengan demikian buktinya sudah lengkap.

Answer 3

OK dulu mari kita perluas braketnya

$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$.

Sekarang kita tahu itu $ab+ac+bc=1$ jadi kami benar-benar membutuhkan $abc+a+b+c+1 \leq 3$ atau $abc+a+b+c \leq{2}$.

Sejak $a,b$ dan $c$ membentuk sisi-sisi segitiga, kita tahu itu $a \leq b+c$ dan $b \leq a+c$ dan $c \leq a+b$.

Saya merasa sulit untuk maju dari sini dan bertanya-tanya apakah hasilnya benar-benar benar, begitu pula eksperimen pikiran. Mari kita katakan$a,b$ dan $c$ semuanya sama $1/\sqrt{3}$. Ini akan menjadi segitiga sama sisi dan$ab+bc+ac=1/3+1/3+1/3=1$.

Kemudian $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$=

$1/3 \sqrt{3}+1/3+1/3+1/3+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1=$

$1/3\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1$.

Yang perlu $\leq{4}$

Iff $1/3\sqrt{3} +\sqrt{3} \leq2$

iff $1/3+3 \leq 2\sqrt{3}$. Yang mana yang benar.

Mari kita ambil kasus ekstrim lainnya: $a$ dan $b$ hanya di bawah $1$ dan $c$ dekat dengan $0$ maka kita juga bisa memilikinya $ab+ac+bc=1$. Sini$(a+1)(b+1)(c+1)$ juga akan berada di bawah $4$jadi saya percaya bahwa ketidaksetaraan itu benar. Saya dapat menunjukkan bahwa kita membutuhkan$abc+a+b+c \leq{2}$tapi tidak tahu bagaimana melakukannya sekarang. Saya akan memikirkan. Tapi kami belum menggunakan pertidaksamaan segitiga jadi saya curiga itu dibutuhkan.

Tidak bisa menyelesaikannya berarti membunuh saya :)

Answer 4

Kami perlu membuktikan $$abc+a+b+c\leq2$$ atau $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2\leq4(ab+ac+bc)^3$$ atau $$\prod_{cyc}(a(b+c-a)+bc)\geq0$$ dan kita selesai!

Kita bisa mendapatkan pemfaktoran terakhir dengan cara berikut.

Untuk $ab+ac+bc=a^2$ kami memperoleh: $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2=(abc+(a+b+c)a^2)^2=a^2(a^2+ab+ac+bc)^2=$$ $$=(ab+ac+bc)(2(ab+ac+bc))^2=4(ab+ac+bc)^3$$ dan karena kami bekerja dengan polinomial simetris, kami mendapatkan faktorisasi yang diperlukan.