Apa hubungannya kerucut dengan kuadrat? Mengapa 2 spesial?
Saya selalu diomeli tentang dua definisi bagian kerucut yang sangat tidak jelas terkait (yaitu tampak begitu misterius / ajaib sehingga entah bagaimana irisan kerucut terkait dengan persamaan derajat 2 dalam 2 variabel). Baru-baru ini saya menemukan halaman / video berikut:
- Video 3B1B tentang elipsis ini , yang menghidupkan kembali keinginan saya untuk memahami kerucut
- Mengapa persamaan kuadrat sama dengan bagian berbentuk kerucut lingkaran kanan? , yang menawarkan pendekatan komputasi yang sangat untuk mencoba menyelesaikan pertanyaan ini
- Video 3B1B lainnya tentang memvisualisasikan Pythagoras tiga kali lipat (yaitu menemukan titik rasional lingkaran)
- dan ceramah Manjul Bhargava tentang Konjektur Birch-Swinnerton-Dyer , di mana menit ~ 10-15 membahas solusi lengkap untuk masalah poin rasional pada kerucut.
Meskipun video 3B1B sangat masuk akal dan sangat indah dari sudut pandang geometris, video ini tidak membahas tentang kerucut lainnya, atau membahas hubungan dengan "derajat 2". Selain itu, video ke-2 3B1B yang saya tautkan dan kemudian ceramah Bhargava menyoroti "derajat 2" sebagai sesuatu yang kami pahami dengan baik, dibandingkan dengan derajat yang lebih tinggi (mengingatkan saya sedikit pada teorema terakhir Fermat dan tidak adanya solusi untuk$n>2$).
Jadi, saya kira pertanyaan saya adalah sebagai berikut:
- Mengapa, dari sudut pandang intuitif, kita harus mengharapkan kerucut sangat terkait dengan himpunan nol persamaan aljabar derajat 2?
dan lebih umum:
- Adakah alasan yang dalam mengapa "2" begitu istimewa? Saya sering mendengar gurauan bahwa "matematika adalah tentang mengubah hal-hal yang membingungkan menjadi aljabar linier" karena aljabar linier adalah "satu-satunya subjek yang sepenuhnya dipahami oleh matematikawan"; tetapi tampaknya kami juga memahami banyak hal baik tentang kuadrat juga - kami memiliki hubungan yang disebutkan di atas dengan kerucut, pemahaman lengkap tentang poin rasional, dan teorema Pythagoras (oh! dan saya baru saja memikirkan timbal balik kuadrat).
Menarik juga untuk dicatat bahwa banyak persamaan dalam fisika yang terkait dengan 2 (turunan kedua), meskipun itu mungkin bentangan. Saya menghargai ide yang Anda bagikan!
Jawaban
Kerucut itu sendiri adalah kuadrat! Hanya dalam tiga variabel, bukan dua. Lebih tepatnya, permukaan kerucut adalah " hiperboloid degenerasi ", seperti
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
Mengambil bagian berbentuk kerucut berhubungan dengan memotong kerucut dengan bidang $ax + by + cz = d$, yang berarti mengganti salah satu dari tiga variabel dengan kombinasi linier dari dua lainnya ditambah konstanta, yang menghasilkan kuadrat dalam dua variabel. Yang termudah untuk dilihat adalah jika$z$ diganti dengan konstanta $r$ lalu kita mendapatkan lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ (begitulah cara Anda mendapatkan persamaan di atas; kerucut adalah bentuk yang potongannya $z = \pm r$ adalah lingkaran jari-jari $r$). Begitu pula jika$x$ atau $y$ diganti dengan konstanta kita mendapatkan hiperbola.
Saya tidak tahu bahwa saya memiliki gambaran lengkap untuk disajikan tentang mengapa kuadrat jauh lebih mudah dipahami daripada kubik dan sebagainya. Mungkin hal yang paling sederhana untuk dikatakan adalah bahwa bentuk kuadrat terkait erat dengan matriks bujursangkar (simetris)$M$, karena bisa ditulis $q(x) = x^T M x$. Dan kita memiliki banyak alat untuk memahami matriks kuadrat, yang semuanya kemudian dapat digunakan untuk memahami bentuk kuadrat, misalnya teorema spektral . Objek yang sesuai untuk bentuk kubik adalah derajat$3$ tensor yang lebih sulit untuk dianalisis.
Mungkin cara yang cukup konyol untuk mengatakannya seperti itu $2$ istimewa karena merupakan bilangan bulat positif terkecil yang tidak sama dengan $1$. Jadi kuadrat adalah hal paling sederhana yang tidak linier dan sebagainya.
Apa itu kerucut?
Bentuknya padat sehingga setiap penampang yang tegak lurus dengan sumbu pusatnya berbentuk lingkaran, dan jari-jari dari penampang ini melingkar sebanding dengan jarak dari puncak kerucut.
Dan itu dia. permukaan kerucut adalah titik-titiknya$(x,y,z)$ dimana $z = h= $ ketinggian penampang $= r = $radius penampang. Dan$(x,y)$ adalah titik-titik lingkaran dengan jari-jari $r = h = z$.
Seperti persamaan lingkaran $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ atau $x^2 + y^2 = r^2$ persamaan kerucut adalah $x^2 + y^2 = z^2$.
Setiap bagian kerucut adalah materi yang memotong kerucut dengan bidang. Bidang adalah batasan dari tiga variabel yang akan dihubungkan dengan pengekangan$ax +by + cz= k$ dan itu adalah soal mengungkapkan variabel ketiga mana pun sebagai kombinasi linier dari dua lainnya.
Jadi penampang bidang dan kerucut akan menjadi turunan dari persamaan 2 derajat $x^2 = y^2 = z^2$dimana salah satu variabel akan menjadi kombinasi linier dari dua lainnya. Dengan kata lain persamaan derajat dua dengan dua variabel.
Dan hanya itu saja.
Tentu pertanyaan sebenarnya adalah mengapa persamaan lingkaran $x^2 + y^2 =r^2$? dan mengapa itu representasi penting dari persamaan derajat kedua?
Dan itu sepenuhnya karena teorema Pythagoras. Jika kita mengambil poin apapun$(x,y)$ di pesawat dan pertimbangkan tiga poin $(x,y), (x,0)$ dan $(0,0)$mereka untuk tiga simpul dari segitiga siku-siku. Kaki-kaki segitiga ini memiliki panjang$x$ dan $y$ dan oleh karena itu menurut teorema Pythagoras, hipotenusa akan memiliki panjang $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ dan itu adalah jarak $(x,y)$ untuk $(0,0)$.
Sekarang lingkaran adalah kumpulan titik dari mana jaraknya $(x,y)$ untuk $(0,0)$ adalah nilai konstan $r = h$. Dan itu akan menjadi semua poinnya$(x,y)$ dimana $\sqrt{x^2 + y^2} =r$.
Dan itu dia. Itulah sebabnya: jarak terkait dengan segitiga siku-siku, segitiga siku-siku terkait dengan persamaan derajat 2, lingkaran terkait dengan jarak, kerucut terkait dengan lingkaran, dan semuanya terkait dengan persamaan derajat 2.
Itu dia.
Alasan terdekatnya adalah kerucut didasarkan pada lingkaran , dan lingkaran, pada gilirannya, diberikan oleh persamaan kuadrat
$$x^2 + y^2 = r^2$$
. Sekarang, mengenai alasan lingkaran memiliki persamaan ini, itu karena mereka terkait dengan fungsi jarak Euclidean, menjadi himpunan semua titik pada jarak konstan dari pusat tertentu, di sini secara konvensional diambil sebagai titik asal. Secara khusus,
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
Sejauh mengapa metrik Euclidean memiliki bentuk ini, saya akan mengatakan bahwa itu bermuara pada yang berikut. Untuk mendapatkan lebih banyak wawasan tentang ini, ada baiknya untuk mempertimbangkan bentuk metrik yang agak lebih umum
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
disebut $p$-metrik yang, pada dasarnya, dihasilkan dari pertanyaan "baik, apa yang terjadi jika kita membiarkan daya tidak menjadi 2?", dan begitu tepat untuk menjawab pertanyaan ini.
Dan ternyata itu $d_2$memiliki properti yang sangat istimewa. Ini adalah satu-satunya yang dapat Anda gunakan untuk mengambil objek geometris, mendeklarasikan sebuah titik di atasnya sebagai poros, kemudian mengambil titik lain pada objek itu dan menandainya, mengukur jarak dari poros ke titik tag, dan sekarang mengubah objek itu sedemikian rupa pusat tetap tetap, sementara titik tag menghadap ke arah yang berbeda pada jarak yang sama, namun ukuran dan bentuk keseluruhan objek tetap tidak berubah. Atau, dengan kata lain, hal seperti "rotasi" membuat pengertian geometris sebagai gerakan kaku.
Jadi, apa alasan utama kerucut berbentuk kuadrat? Karena di ruang Euclidean, Anda dapat memutar sesuatu sesuka Anda tanpa mengubah ukuran dan bentuknya.
Ada makalah oleh David Mumford yang mungkin sulit dibaca tergantung pada tingkat persiapan Anda.
Inti dari kertas yang mengatakan bahwa setiap sistem persamaan polinomial dapat digantikan (dengan menambahkan lebih banyak variabel dan lebih persamaan) ke sistem kuadrat persamaan dan linear.
Seseorang mungkin dapat menggeneralisasi ini lebih lanjut untuk menunjukkan bahwa jika sistem polinomial memiliki parameter, maka seseorang dapat memastikan bahwa parameter ini hanya muncul dalam persamaan linier.
Kasus awal yang sangat istimewa dari ini adalah yang telah Anda sebutkan.
Alasan "2" khusus untuk fisika adalah hukum kedua Newton, yang menghubungkan gaya dengan percepatan (bukan kecepatan) dan itu adalah turunan keduanya. Nah, ada juga peran "2" dalam hukum kuadrat terbalik.
Alasan "2" istimewa dalam geometri melalui bentuk kuadrat di beberapa variabel adalah karena bentuk kuadrat di beberapa variabel memiliki beberapa properti bagus.
- Setiap bentuk kuadrat dapat didiagonalisasi untuk menghilangkan semua suku persilangan, sehingga Anda dapat fokus pada kasus bentuk kuadrat diagonal $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$. (Sebenarnya ini tidak benar untuk bentuk kuadrat di atas bidang karakteristik$2$, tetapi Anda tidak mendapatkan intuisi geometris dari karakteristik $2$.) Berbeda dengan itu, bentuk kubik mungkin tidak dapat didiagonalisasi, bahkan melebihi $\mathbf C$. Misalnya, bentuk kubik$y^2z - x^3 + xz^2$ (yang nolnya dalam bentuk dehomogenisasi diberikan oleh persamaan $y^2 = x^3 - x$) tidak dapat didiagonalisasi $\mathbf C$: lihat komentar saya di sini
Setiap bentuk kuadrat nonsingular memiliki sekelompok besar automorfisme berkat konstruksi pantulan. Ini disebut kelompok ortogonal dari bentuk kuadrat. Berbeda dengan itu, "kelompok ortogonal" dari polinomial homogen derajat tinggi$f(\mathbf x)$ (itu berarti kelompok transformasi linier $A$ melestarikan polinomial: $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$) seringkali terbatas, misalnya, satu-satunya isometri dari $x_1^n + \cdots + x_n^n$ untuk $n \geq 3$ adalah permutasi koordinat dan mengalikan koordinat dengan $n$akar persatuan.
Dasar geometri adalah konsep ortogonalitas, yang Anda inginkan menjadi hubungan bilinear simetris: $v \perp w$ jika dan hanya jika $w \perp v$, dan jika $v \perp w$ dan $v \perp w'$ kemudian $v \perp (ax + a'w')$ untuk semua skalar $a$ dan $a'$. Ini menyarankan melihat bentuk bilinear$B(v,w)$ pada ruang vektor dan menanyakan kapan hubungannya $B(v,w) = 0$ (versi abstrak dari "$v \perp w$") simetris. Ternyata ini terjadi jika dan hanya jika $B$simetris atau bolak-balik. Kasus pertama adalah, di luar karakteristik$2$, terkait erat dengan mempelajari bentuk kuadrat $Q(v) = B(v,v)$.
Nomor indeks 2 khusus sehubungan dengan cara sudut dapat ditentukan dari jarak.
Ada banyak kemungkinan fungsi jarak (norma) yang dapat didefinisikan, tetapi kebanyakan dari mereka tidak mengizinkan sudut untuk didefinisikan secara konsisten. Sudut ditentukan dari hasil kali dalam (perkalian titik) dan ini hanya ditentukan jika norma mematuhi ekspresi kuadrat$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ untuk vektor apa pun $u$ dan $v$.
Dalam ruang dengan norma yang berbeda, rotasi lebih sedikit. Mungkin hanya ada sejumlah kemungkinan rotasi yang terbatas dari sebuah lingkaran atau sebuah bola. Sebuah "kerucut" dalam 3d$(x,y,z)$ didefinisikan oleh $||x+y||=||z||$ masih dapat berpotongan dengan bidang dan keluarga kurva (nonkuadrat) ditemukan.
Dalam geometri biasa, sudut didefinisikan, jadi ada persamaan kuadrat yang harus dipenuhi oleh panjang.