Apa persamaan standar untuk perubahan koordinat Kartesius di $\mathbb{R}^2$?
Saya sedang mengerjakan bagian pertama Boothby's Introduction to Differentiable Manifold , dan salah satu latihannya berbunyi sebagai berikut:
Menggunakan persamaan standar untuk perubahan koordinat Cartesian, verifikasi itu $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, dimana $m_1, m_2$ adalah kemiringan dua garis, tidak bergantung pada pilihan koordinat.
Disebutkan bahwa ini juga dapat dilakukan dengan membuktikan bahwa nilainya hanyalah bersinggungan dengan sudut antara dua garis, tetapi saya yakin latihan ini tidak dimaksudkan untuk diselesaikan dengan cara ini.
Saya tidak terbiasa dengan persamaan standar untuk perubahan koordinat Cartesian. Sepertinya ada perubahan koordinat di$\mathbb{R}^2$ akan menjadi transformasi affine, meskipun saya tidak yakin tentang ini.
Pertanyaan saya adalah: apa persamaan standar untuk perubahan koordinat Cartesian?
Jawaban
Karena gradien tidak berubah dalam terjemahan, kita dapat berasumsi tanpa kehilangan keumuman bahwa dua sistem koordinat Kartesius memiliki asal yang sama, dan setiap garis melewati asal yang sama tersebut. Transformasi dari koordinat$x,\,y$ untuk mengoordinasikan $X,\,Y$ memuaskan$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$untuk beberapa $\theta\in\Bbb R$. Jika$y=mx$ dan $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$Akhirnya,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$Sebagai penutup, perlu dicatat bahwa permintaan Boothby untuk menggunakan perubahan koordinat Cartesian tidak hanya memberi kita lebih banyak pekerjaan yang harus dilakukan daripada yang diperlukan, tetapi juga membuat hasil akhir terlihat seperti kecelakaan. Bukan itu. Penulisan$m_1=\tan\theta_1$ dll., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, jadi hasilnya mengikuti invariansi rotasi sudut di bidang.
Jika Anda memiliki dua sistem koordinat kartesius, $Oxy$ dan $\Omega\xi\eta$, maka persamaan yang mengaitkannya adalah $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ dimana
- matriks $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ di dapat dibalik dan
- $\xi(O)$ dan $\eta(O)$ adalah koordinat $O$ dalam sistem koordinat kedua.