Apa yang dimaksud dengan logika 'lemah'?

Question

The Stanford Encyclopedia of Philosophy, sv "Modal Logic," menyatakan,

Logika yang paling dikenal dalam keluarga modal dibangun dari logika lemah yang disebut K (setelah Saul Kripke) ...

Referensi ke 'lemah' dan 'kelemahan' relatif sering dalam pertanyaan yang diajukan di situs web ini, misalnya logika urutan kedua yang lemah . Tetapi baik jawaban yang diberikan di bawah judul khusus itu maupun penjelasan kelemahan seperti yang diberikan di bawah. Apa yang dimaksud dengan satu aksioma menjadi "lebih lemah" dari yang lain? jelaskan kepada saya apa yang mungkin menjadi kelemahan "logika", atau sistem keseluruhan lainnya.

Apa yang dimaksud dengan "logika yang lemah"?

Answer 1

Sebuah logika lebih kuat semakin banyak teorema yang dibuktikan, dan sebagai akibatnya, semakin sedikit model yang dimilikinya.
Semakin banyak aksioma, dan semakin spesifik sebuah aksioma (dalam arti A lebih spesifik daripada B jika A melibatkan B tetapi B tidak melibatkan A), semakin banyak rumus yang dapat disimpulkan dari aksioma-aksioma ini: Logika kuat dalam arti ia berhasil membuktikan banyak kalimat.
Di sisi lain, semakin banyak teori yang dibutuhkan untuk menjadi kenyataan, semakin sulit bagi sebuah struktur untuk memenuhi semua aksioma, sehingga semakin sedikit modelnya: Logika kuat dalam arti ia berhasil menendang keluar banyak struktur dan hanya menyisakan sedikit kemungkinan tentang seperti apa alam semesta ini.

Logika modal K hanya memiliki satu aturan dan satu aksioma, atau dalam kaitannya dengan aksesibilitas, tidak ada kendala sama sekali. Jadi setiap struktur modal dapat memenuhi teori ini, dan tidak banyak teorema yang dapat diturunkan hanya dari satu aksioma ini, dan berhasil menjadi benar secara universal di semua struktur ini, dalam pengaturan yang lebih umum ini.
Dengan menambahkan lebih banyak aksioma, atau batasan pada hubungan aksesibilitas, lebih banyak struktur dikesampingkan. Jadi lebih banyak kalimat dapat dibuktikan, dan berhasil menjadi benar dalam semua model yang lebih sedikit, dalam teori yang lebih spesifik ini. Teori seperti T, S4, S5 lebih kuat dari K.

Perhatikan bahwa definisi ini rusak jika logikanya tidak konsisten dan menggabungkan hukum ledakan klasik: Kemudian logika membuktikan setiap pernyataan, dan tidak memiliki model - yang menurut kriteria di atas akan membuatnya kuat tanpa batas; tetapi ini bukan yang kita inginkan secara intuitif, karena logika seperti itu sepele. (Meskipun perhatikan bahwa perjanjian klasik ini bukanlah suatu keharusan: ada logika yang tidak secara otomatis membuat teori yang tidak konsisten meledak; cf. logika paraconsistent).