Apa yang diperlukan untuk membuktikan bahwa ruang tangen pada lipatan adalah ruang vektor? [duplikat]
Saat ini saya bekerja dengan definisi vektor tangen sebagai kelas persamaan kurva. Begitu$v =[\gamma]$ dan $w=[\sigma]$ dimana $v,w$adalah vektornya. Saya ingin membuktikan bahwa jumlah dari dua kelas ekivalen ini juga merupakan kelas ekivalen yang memberikan struktur ruang vektor. Kami mendefinisikan jumlahnya sebagai:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
dimana $\phi$adalah bagan. Saya mengerti bahwa kurva tidak dapat ditambahkan ketika mereka termasuk dalam manifold, itu sebabnya kami pertama kali memetakan kemudian ke real mana yang dapat dilakukan. Jadi sekarang setelah jumlahnya ditentukan, bagaimana saya bisa membuktikan bahwa itu adalah kelas lain pada intinya$p$ di $M$. Apakah cukup untuk memastikan bahwa peta lewat$p$? Pertanyaan yang sama berlaku untuk perkalian dengan skalar. Terima kasih
Jawaban
Setelah membaca posting Anda dengan lebih hati-hati, inilah ringkasan satu kalimat dari kesalahan Anda : Anda mencoba menambahkan (dan skalar mengalikan) kurva di$\Bbb{R}^n$, bukan kecepatannya. Seperti yang Anda amati, menambahkan kurva akan mengacaukan berbagai hal dengan titik dasar.
Sebagai satu set, kami punya $T_pM$ adalah himpunan kelas kesetaraan kurva halus, $[\gamma]$, dimana $\gamma$ didefinisikan pada beberapa interval terbuka yang mengandung $0$ seperti yang $\gamma(0)=p$. Sekarang, untuk grafik apa saja$(U,\phi)$ tentang intinya $p$, pertimbangkan fungsinya $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ didefinisikan sebagai \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Fungsi ini terdefinisi dengan baik karena bagaimana relasi ekivalen didefinisikan. Perhatikan arti intuisinya:$\gamma$ adalah kurva dengan nilai di manifold $M$, jadi jika kita menggunakan grafik, kita bisa mendapatkan kurva yang sesuai $\phi\circ \gamma$ dengan nilai-nilai dalam ruang Banach (yaitu ruang vektor bernorma) $\Bbb{R}^n$, dan kita tahu bagaimana kalkulus bekerja dalam pengaturan ruang vektor. Jadi, semua peta ini$F_{\phi,p}$ apakah itu membutuhkan kurva $[\gamma]$ dan memetakannya ke "vektor kecepatan" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. Saya harap ini intuitif (jika tidak, cukup buat beberapa gambar untuk melihat di mana setiap objek berada).
Sekarang, juga mudah untuk memverifikasi itu $F_{\phi,p}$adalah fungsi bijective; Saya serahkan pada Anda untuk memverifikasi itu$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ didefinisikan sebagai \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}adalah fungsi terbalik. Dengan kata lain, yang kami lakukan adalah mengambil vektor$v\in\Bbb{R}^n$, dan mempertimbangkan garis lurus $t\mapsto \phi(p)+tv$. Ini adalah kurva yang didasarkan pada titik$\phi(p)$, ke arah $v$. Sejak$\phi$ adalah sebuah homeomorfisme, maka untuk nilai yang cukup kecil $t$, kita punya $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, maka kita dapat mempertimbangkan kelas ekivalensi dari kurva $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
Jadi, apa yang dihasilkan oleh semua notasi tambahan ini? Nah, kami memiliki fungsi bijective$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, dan tentu saja, $\Bbb{R}^n$ adalah ruang vektor, jadi dengan aljabar linier dasar, kita dapat "menarik kembali" struktur ruang vektor $\Bbb{R}^n$ untuk membuatnya $F_{\phi,p}$isomorfisme linier. Secara eksplisit yang saya maksud adalah kita dapat mendefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar$+_{\phi}$ dan $\cdot_{\phi}$ (Saya meletakkan subskrip karena sejauh ini semuanya bergantung pada grafik) sebagai berikut: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
Jika Anda melepas semua definisi, maka \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Mudah-mudahan, idenya cukup jelas: Anda memiliki kebijaksanaan, jadi Anda mendorong semuanya ke depan, lakukan perhitungan di $\Bbb{R}^n$, lalu kembalikan semuanya $T_pM$, dan begitulah penjumlahan dan perkalian skalar didefinisikan. Saya serahkan kepada Anda bahwa semua aksioma ruang vektor terpenuhi dan itu$F_{\phi,p}$ adalah isomorfisme linier dll.
Satu hal terakhir yang perlu diperhatikan adalah sejauh ini penjumlahan dan perkalian skalar telah ditentukan dengan menggunakan bagan tertentu $(U,\phi)$, namun sebenarnya, ini adalah latihan aturan rantai sederhana untuk memverifikasi jika Anda memiliki bagan yang berbeda $(V,\psi)$, kemudian $+_{\phi}=+_{\psi}$ dan $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, sehingga struktur ruang vektor aktif $T_pM$ sebenarnya tidak bergantung pada grafik, maka kami hanya menunjukkannya sebagai $+$ dan $\cdot$seperti biasa. Saya serahkan kepada Anda untuk melepaskan definisi, menggunakan aturan rantai dll untuk memverifikasi ini. Jika Anda mengalami kesulitan, beri tahu saya, mungkin saya bisa menjelaskan lebih lanjut.