Apa yang sebenarnya kami maksud dengan "kepadatan" dalam fungsi Probability Density (PDF)? [duplikat]
Secara umum massa jenis adalah massa / volume. Juga digunakan untuk sesuatu seperti kepadatan populasi, yaitu populasi / satuan luas.
Apa pentingnya kepadatan kata dalam PDF?
Jawaban
Jawaban singkat: Seperti dalam kepadatan fisik, kepadatan probabilitas adalah probabilitas / volume.
Jawaban panjang: Untuk benda homogen, kepadatan dapat didefinisikan seperti yang Anda katakan,$m/V$, dengan $m$ yang menunjukkan massa dan $V$volumenya. Namun, jika benda Anda tidak homogen, massa jenis adalah fungsi dari koordinat ruang di dalam benda tersebut:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$yaitu massa di dalam volume yang sangat kecil di sekitar koordinat yang diberikan, dibagi dengan volume yang sangat kecil itu. Bayangkan puding plum: Kepadatan pada kismis berbeda dengan massa jenis pada adonan.
Untuk probabilitas, pada dasarnya sama: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ dimana $f$ adalah fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dan $F$ fungsi kepadatan kumulatif (CDF), sehingga $\Delta F$ adalah probabilitas yang sangat kecil dalam volume yang sangat kecil $\Delta V$ di sekitar koordinat $(x, y, z)$ di ruang di mana $F$ didefinisikan.
Sekarang, kita kebetulan hidup di dunia fisik dengan tiga dimensi ruang, tetapi kita tidak terbatas pada mendefinisikan probabilitas di atas ruang. Dalam praktiknya, jauh lebih umum untuk bekerja dengan probabilitas yang ditentukan melalui satu dimensi, katakanlah,$x$. Kemudian di atas disederhanakan menjadi$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Tapi, tentu saja, bergantung pada model probabilitas Anda, $F$ dan $f$ dapat ditentukan melalui sejumlah dimensi.
Anda dapat melihat turunan Radon-Nikodym sebagai definisi formal dari pengertian yang lebih umum tentang kepadatan.
Ini adalah rasio dua ukuran (yang memiliki sifat luas , mereka aditif ) yang ditentukan pada ruang yang sama .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Rasio ini membuat satu ukuran kuantitas $\nu$ dari satu set $S$ diekspresikan oleh integral atas ukuran lainnya $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Biasanya penyebut $\mu$adalah ukuran berdasarkan ukuran metrik seperti jarak, luas, atau volume. Ini umum untuk massa jenis dalam fisika seperti kerapatan massa, kerapatan energi, kerapatan muatan, kerapatan partikel.
Dengan kepadatan probabilitas, penyebut dapat secara lebih umum merupakan jenis variabel lain yang tidak berhubungan dengan ruang fisik . Namun, seringkali serupa dalam penggunaan ukuran Euclidean atau ukuran Lebesgue . Hanya saja variabel tersebut tidak perlu berupa koordinat dalam ruang fisik.
Untuk variabel acak kontinu tunggal, nilai pdf pada titik tersebut $t$memberi tahu Anda kepadatan massa probabilitas , yang diukur dalam satuan massa probabilitas per satuan panjang , pada titik tersebut$t$di garis nyata. Kepadatan massa probabilitas dapat berbeda di berbagai titik pada garis nyata; itu tidak semudah resep massa / volume fisika sekolah menengah.