Apakah 2-norma dari sebuah matriks dibatasi oleh maksimal 1-norma dan norma-tak terbatasnya?

Question

Saya menerapkan algoritme dalam "Mendekati Logaritma Matriks ke Akurasi Tertentu" oleh Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001.

Dalam algoritma ini, saya akan menghindari komputasi 2-norma dari matriks persegi bernilai nyata $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Eksperimen numerik menyarankan kepada saya bahwa batas atas berikut berlaku

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

Adakah yang bisa memastikan apakah ketidaksetaraan ini selalu terjadi? Terima kasih dan selamat tahun Baru!

Seorang pengguna berkomentar bahwa Cauchy-Schwarz menyiratkan

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

yang dalam beberapa kasus meningkatkan ikatan, tetapi tidak selalu. Jadi saya berharap pertanyaan awal saya masih relevan. Contoh tandingan dari ketidaksetaraan yang disarankan juga akan dihargai, jika ada.

Answer 1

Memang:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

mengikuti dari

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

yang - menurut Wikipedia - adalah kasus khusus ketidaksetaraan Hölder.