Apakah ada cara standar untuk melengkapi sigma-aljabar dengan sigma-aljabar?

Question

Seharusnya $(X, \mathcal X)$adalah ruang terukur. Saya ingin mengatakan sesuatu tentang fungsi terukur yang mengambil nilai$\mathcal X$, tetapi untuk melakukan itu, saya perlu $\mathcal X$ untuk dilengkapi dengan sigma-aljabar.

Apakah ada cara kanonik untuk memperlengkapi $\mathcal X$ dengan sigma-aljabar $\mathcal F_\mathcal X$ sehingga kita dapat berbicara tentang fungsi terukur dari $(X, \mathcal X)$ untuk $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Beberapa ide yang terpikir oleh saya:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Tapi saya tidak melihat bahwa ini ditutup dengan pujian.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Tetapi saya tidak melihat bahwa ini ditutup di bawah serikat pekerja yang dapat dihitung.

Answer 1

Sejauh yang saya tahu, tidak ada pendekatan standar untuk membangun struktur yang dapat diukur seperti itu.

Kami membutuhkan sesuatu seperti itu untuk beberapa pekerjaan yang menggeneralisasi proses keputusan Markov (dilihat dari sudut pandang Ilmu Komputer) dengan "non determinisme". Anda dapat memeriksa referensi di arXiv ( DOI ).

Definisi yang melakukan pekerjaan bagi kami di sana adalah mendeklarasikan beberapa bagian dari $\mathcal{X}$ terukur jika di $\sigma$-aljabar $H(\mathcal{X})$ dihasilkan oleh set $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, dimana $\xi$ berkisar $\mathcal{X}$. Hal ini sebagian besar dimotivasi oleh konstruksi hyperspace terukur dari himpunan bagian tertutup dari ruang topologi.

Sebenarnya, membatasi ke beberapa subset yang tepat dari $\mathcal{X}$ tampaknya lebih masuk akal, karena hasilnya $\sigma$-aljabar sangat besar: Jika aku mengingatnya dengan benar, sekali $X$ tidak terbatas dan $\mathcal{X}$ memisahkan poin, lalu $H(\mathcal{X})$ tidak dapat dihasilkan secara terhitung.