Apakah ada ekspresi bentuk tertutup untuk $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?
Saya ingin bertanya jika $|x|<1$, kami dapat mengekspresikan produk $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ sebagai suatu fungsi $f(x)$. Saya mencoba menggunakan teorema faktorisasi Weierstrass, tetapi tidak berhasil.
Saya akan sangat menghargai referensi atau solusi.
Jawaban
Seperti yang telah diperhatikan di komentar, ekspresi dapat diperoleh dari produk tak hingga untuk $\Gamma$(baik milik Euler , atau milik Weierstrass ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ dan "aljabar" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, memberi $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Ini dengan mudah berlaku untuk "produk tak terbatas rasional" yang lebih umum, seperti yang dijelaskan di sini .
Komentar:
Batas produk ini dapat ditemukan menggunakan ketidaksetaraan Weierstrassn:
Jika $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ adalah bilangan bulat positif nyata kurang dari satu, dan:
$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$
kemudian:
$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$
Dimana kita bisa membiarkan:
$a_n=\frac x {n^3}$