Apakah ada ekspresi bentuk tertutup untuk $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Dec 14 2020

Saya ingin bertanya jika $|x|<1$, kami dapat mengekspresikan produk $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ sebagai suatu fungsi $f(x)$. Saya mencoba menggunakan teorema faktorisasi Weierstrass, tetapi tidak berhasil.

Saya akan sangat menghargai referensi atau solusi.

Jawaban

4 metamorphy Dec 14 2020 at 18:49

Seperti yang telah diperhatikan di komentar, ekspresi dapat diperoleh dari produk tak hingga untuk $\Gamma$(baik milik Euler , atau milik Weierstrass ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ dan "aljabar" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, memberi $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Ini dengan mudah berlaku untuk "produk tak terbatas rasional" yang lebih umum, seperti yang dijelaskan di sini .

1 sirous Dec 14 2020 at 19:04

Komentar:

Batas produk ini dapat ditemukan menggunakan ketidaksetaraan Weierstrassn:

Jika $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ adalah bilangan bulat positif nyata kurang dari satu, dan:

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

kemudian:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

Dimana kita bisa membiarkan:

$a_n=\frac x {n^3}$