Apakah ada fungsi Hijau untuk p-Laplacian?

Aug 21 2020

Fungsi Green ditentukan untuk operator diferensial linier $L$ sebagai solusi persamaan $LG = \delta$, dimana $\delta$adalah fungsi delta Dirac. Konsekuensi langsung dari definisi$G$ adalah itu solusi dari masalah tersebut $Lu = f$ adalah konvolusi $G*f$, dimana $G$ adalah fungsi Green.

Saya tertarik untuk mengetahui apakah ada solusi untuk persamaan tersebut: $$ \Delta_p G = \delta $$ di beberapa domain terbatas $\Omega$ dengan beberapa syarat batas, dimana $\Delta_p$ adalah $p$-Laplacian didefinisikan oleh: $$ \Delta_p u = div (|\nabla u|^{p-2}\nabla u), $$ dengan $p\neq 2$ (kasus $p=2$adalah Laplacian). Saya tahu bahwa saya tidak dapat membuat solusi dari masalah tersebut$\Delta_p u = f$ oleh konvolusi $G*f$, karena $\Delta_p$ tidak linier.

Saya tidak menemukan makalah tentang masalah ini, jadi saya pikir mungkin ini adalah masalah yang sangat sulit atau mungkin sudah diketahui bahwa tidak ada solusi. Saya akan sangat menghargai jika Anda mencerahkan saya tentang masalah ini.

Jawaban

2 LL3.14 Aug 22 2020 at 04:56

Membiarkan $\omega_d = |\mathbb{S}^{d-1}| = \frac{2\,\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ dan $p>\frac{d-1}{d+1}$ memverifikasi $p\neq d-1$. Salah satu solusi persamaan$$ \Delta_p u = \delta_0 $$ di $\mathbb{R}^d$ adalah $$ u = \tfrac{p}{p+1-d} \frac{1}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{(d-1)}{p}-1}}. $$ Seperti yang Anda katakan, ini tidak berguna untuk menyelesaikan persamaan dengan ruas kanan lainnya, karena $\Delta_p$tidak linier. Oleh karena itu, saya tidak akan menyebutnya sebagai fungsi Hijau.

Keterangan: Kapan$p=d-1$, prosedur yang sama akan diberikan $u = C\,\ln(|x|)$.


Bukti: Untuk fungsi seperti itu$u$, memang, ada yang memilikinya $$ ∇u = \frac{x}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{d-1}{p}+1}} $$ yang seperti itu $$ |∇u|^p = \frac{1}{\omega_d\,|x|^{d-1}} = \left|\frac{x}{\omega_d\,|x|^{d}}\right| = |∇G_1| $$ dimana $G_1 = \frac{-1}{(d-2)\,\omega_d\,|x|^{d-2}}$ adalah solusi dari persamaan Laplace $\Delta G_1 = \delta_0$. Karena itu, sejak$|∇u|^{p-1}∇u$ dan $∇G_1$ sejajar, arah yang sama dan norma yang sama, kami simpulkan $|∇u|^{p-1}∇u = ∇G_1$, yang seperti itu $$ \Delta_p u = \mathrm{div}(|∇u|^{p-1}∇u) = \mathrm{div}(∇G_1) = \Delta G_1 = \delta_0. $$