Apakah ada sistem chaos yang tidak dapat diprediksi bahkan pada batas kondisi awal presisi tak terbatas dan sumber daya tak terbatas?
Saya memiliki pemahaman orang awam tentang teori chaos , yang tampaknya menunjukkan bahwa dengan menggunakan kondisi awal presisi hingga dan sumber daya komputasi terbatas, sistem chaos tidak dapat diprediksi setelah jangka waktu tertentu.
Pertanyaan saya adalah apa yang terjadi dalam batas peningkatan ketepatan kondisi awal dan sumber daya hingga tak terbatas: Apakah sistem tetap kacau, atau apakah jendela prediksi juga menyimpang hingga tak terbatas?
Secara khusus pertimbangkan kondisi berikut:
Kami memiliki sistem yang kacau.
Kami menghitung jendela waktu prediksi $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ diberi margin kesalahan yang terbatas $e$, untuk ketepatan kondisi awal yang terbatas $p$, dan komputer dengan memori terbatas $m$ beroperasi dengan kecepatan terbatas $s$.
Kami menghitung jendela waktu prediksi yang sama $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ ketika presisi, memori, dan kecepatan berbeda hingga tak terbatas bersama-sama (tetapi $e$ tetap terbatas).
Jika untuk semua sistem chaos jendela waktu menyimpang hingga tak terbatas, maka jawaban untuk pertanyaan ini adalah tidak .
Jika ada sistem yang ditemukan di mana $t_\text{pred}$mungkin tetap terbatas, maka jawaban untuk pertanyaan ini adalah ya .
Karena pertanyaan-pertanyaan ini tampaknya sangat jauh dari praktis, saya akan menambahkan sebuah motivasi: Saya merasa jawaban atas pertanyaan ini memiliki pengaruh penting dalam teologi. Yaitu jika jawabannya adalah ya maka secara logis akan menghalangi kemungkinan tuhan yang non-intervensionis, maha tahu (termasuk masa depan) yang merancang alam semesta dengan tujuan, karena dia tidak akan dapat melakukan perhitungan ini bahkan jika dia / dia sangat kuat.
Jawaban
Properti penting dari sistem chaos adalah deterministik: Tidak ada unsur keacakan dalam model. Kondisi awal sangat menentukan masa depan sistem.
Jika saya melakukan simulasi model chaos dengan kondisi awal yang sama¹ pada komputer nyata dua kali, saya mendapatkan hasil yang persis sama. Ini hanya berbeda dari solusi sebenarnya untuk kondisi awal saya karena presisi terbatas aritmatika floating-point (dan, karena sistemnya kacau, perbedaan ini bisa sangat besar) ². Dan tentu saja, dalam kasus hipotetis murni yang saya ingin mensimulasikan sistem nyata terisolasi yang model pastinya saya miliki, saya memiliki masalah yang tidak dapat mewakili kondisi awal nyata saya secara sempurna sebagai bilangan floating-point.
Jika saya memiliki presisi yang sewenang-wenang dan sumber daya komputasi tak terbatas yang tersedia serta pengetahuan sempurna tentang kondisi awal, saya dapat memprediksi sistem yang kacau dengan sempurna hanya dengan mensimulasikannya. Untuk sistem waktu-diskrit, satu-satunya alasan saya membutuhkan memori tak terbatas dan kecepatan komputasi adalah menyimpan dan bekerja dengan angka presisi sembarang³ (dan tentu saja jika saya ingin pergi tanpa batas ke masa depan). Untuk sistem waktu kontinu, ada alasan lain mengapa saya memerlukan kecepatan komputasi tak terbatas, yaitu untuk melakukan integrasi numerik dengan langkah waktu yang sewenang-wenang.
¹ dan aturan aritmatika floating-point yang sama
² untuk sistem waktu kontinu, ketidaktepatan yang melekat pada integrasi numerik juga menambah kesalahan
³ karena saya berakhir dengan banyak digit yang tak terbatas