Apakah Aut (G) → Out (G) selalu dipisahkan untuk grup Lie G yang kompak dan terhubung?

Question

Kelompok automorfisme luar dari kelompok topologi $G$ dibangun oleh urutan yang tepat pendek $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$Urutan ini tidak selalu terpecah, lihat Non-split Aut (G)$\to$Keluar (G)? , misalnya untuk grup diskrit$G = A_6$.

Saya tertarik dengan kasus di mana $G$adalah grup Lie yang kompak dan terhubung. Apakah urutannya selalu terpecah dalam kasus ini? (Jika$G$ memiliki aljabar Lie sederhana $\mathfrak{g}$maka saya yakin jawabannya adalah ya .)

Answer 1

Iya, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$selalu berpisah. Buktinya adalah seperti dalam jawaban saya atas pertanyaan Anda Klasifikasi (tidak harus terhubung) kelompok Lie kompak : hal$\operatorname{Aut}(G)$ sebagai perpanjangan dari $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ oleh kelompok terpisah $\operatorname{Out}(G)$, dan angkat $\operatorname{Out}(G)$ untuk $\operatorname{Aut}(G)$sebagai automorfisme yang mempertahankan pin dalam arti jawaban itu . (Ini sering disebut "automorfisme diagram".) Di pertanyaan lain, kami tidak mendapatkan bagian yang jujur ​​dari grup komponen di dalam grup Lie karena Anda tidak berasumsi bahwa komponen identitas tidak terpusat, tetapi karena grup adjoint$\operatorname{Inn}(G)$ tidak terpusat, semuanya baik-baik saja di sini.