Apakah dg-modules di atas cofibrant dg-category cofibrant?
Perbaiki cincin komutatif $k;$ semua dg-kategori akan menjadi dg-kategori di atas $k.$Sepanjang pertanyaan, saya akan mengikuti notasi dan konvensi Toën's " Teori homotopi dg-kategori dan teori Morita turunan ." Untuk kategori dg$C,$ membiarkan $[C]$ menjadi kategori yang objeknya sama dengan objeknya $C,$ dan yang morfismenya ditentukan oleh $\operatorname{Hom}_{[C]}(X,Y) := H_0(C(X,Y)).$
Membiarkan $F : C\to D$ menjadi dg-functor antara dg-kategori, dan ingat bahwa:
- $F$adalah kuasi-sepenuhnya setia jika untuk semua$X,Y\in C,$ $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ adalah isomorfisme kuasi,
- $F$adalah semi-dasarnya surjective if$[F] : [C]\to [D]$ pada dasarnya bersifat dugaan,
- $F$adalah quasi-ekuivalen jika itu semu sepenuhnya setia dan pada dasarnya surjectif.
- $F$adalah fibrasi jika memenuhi dua kondisi berikut:
- Untuk semua $X,Y\in C,$ morfisme $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ adalah fibrasi dalam kategori $\mathsf{Ch}(k)$ kompleks rantai selesai $k$ (yaitu, suatu perkiraan), dan
- Untuk semua $X\in C,$ diberikan isomorfisme apapun $v : [F](X)\to Y'\in [D],$ disana ada $Y\in C$ dan isomorfisme $u : X\to Y$ di $[C]$ seperti yang $[F](u) = v.$
Ingatlah bahwa ada struktur model pada kategori tersebut $\mathsf{dgCat}_k$ dari dg-kategori berakhir $k$ dan dg-functors di antara mereka, dengan fibrasi seperti yang didefinisikan di atas, dan dengan kesetaraan lemah yang diberikan oleh kuasi-kesetaraan.
Untuk kategori dg $C,$ tentukan juga dg-category $\widehat{C}$ untuk menjadi sub-dg-kategori lengkap dari $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ terdiri dari benda fibran dan kofibran, di mana kita mendefinisikan fibrasi dan kesetaraan $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ menjadi fungsi yang merupakan fibrasi dan kesetaraan tingkat bijaksana $\mathsf{Ch}(k).$
Pertanyaan saya adalah: seandainya begitu $C$adalah kategori dg cofibrant. Kemudian salah satu dari$\widehat{C}$ atau $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ cofibrant dg-kategori?
Pertama, mudah untuk menunjukkannya $C$ adalah cofibrant jika dan hanya jika $C^{\textrm{op}}$aku s. Menggunakan observasi ini, satu-satunya cara yang saya pikirkan untuk mendapatkan peta$F : \mathsf{dgMod}_{C}\to A$ (atau $\widehat{C}$) mengangkat sebuah functor $\mathsf{dgMod}_C\to B$ sepanjang fibrasi sepele $A\to B$ adalah menggunakan embedding Yoneda $$ \begin{align*} h^{-}:C^{\textrm{op}}&\to \widehat{C}\\ X&\mapsto\left(\begin{array}{lll} h^X:&C&\to\mathsf{Ch}(k) \\ &Y&\mapsto C(X,Y) \end{array}\right) \end{align*} $$ dan tulis dg-module apa saja $M$ sebagai kolom dari fungsi yang dapat direpresentasikan $M\cong\varinjlim_i h^{X_i}$ untuk mendefinisikan $$F(M) := \varinjlim_i G(X_i),$$ dimana $G : C^{\textrm{op}}\to A$ adalah pengangkatan komposit $$C^{\textrm{op}}\to \mathsf{dgMod}_C\to B$$ sepanjang $A\to B.$
Namun, ada beberapa masalah dengan strateginya: pertama, $A$mungkin tidak memiliki kolom! Bahkan jika$A$ memang memiliki kolom yang sesuai, ini hanya akan menentukan $F$ di tingkat objek, dan sepertinya $A\to B$harus bolak-balik dengan biaya mahal agar ini masuk akal. Adakah cara untuk menyelamatkan strategi ini, dan jika tidak, adakah cara lain untuk melakukan pendekatan ini?
Sunting: Untuk menambahkan tujuan utama saya dalam menanyakan ini, saya menanyakan ini sebagai tindak lanjut dari pertanyaan saya sebelumnya tentang menunjukkan bahwa kategori infinity turunan bolak-balik dengan mengambil pushout. Saya menerima jawaban yang bagus di sana menangani situasi di$\infty$situasi -kategoris, tapi saya berharap untuk menemukan bukti ini dalam kasus dg-kategori yang tidak lolos $\infty$-bahasa kategoris. Sketsa bukti yang saya buat memerlukan kategori dg-modul di atas cofibrant dg-category / aljabar untuk menjadi cofibrant untuk menghitung produk tensor turunan yang muncul.
Jawaban
Pertanyaan saya adalah: misalkan C adalah kategori dg cofibrant. Lalu apakah salah satu dari Ĉ atau dgMod_C ^ op cofibrant dg-categories?
Objek kofibran dalam kategori model yang dihasilkan secara kofibran (seperti dgCat) adalah retraksi komposisi transfinite dari perubahan cobase untuk menghasilkan kofibrasi. Menghasilkan kofibrasi dgCat adalah fungsi antara kategori kecil (lihat, misalnya, (4.7) dan (4.13) di arXiv: 1201.1575 ), dan perubahan cobase, komposisi transfinite, dan retraksi mempertahankan properti ini. Karena dgMod_C ^ op dan Ĉ keduanya memiliki kelas objek yang tepat (dan bahkan kelas yang tepat untuk kelas ekivalensi yang lemah dari objek), tidak mungkin dgMod_C ^ op atau Ĉ dapat dibuat menjadi dg-kategori cofibrant.