Apakah kelompok solvabel hingga nontrivial memiliki subkelompok indeks daya utama untuk setiap pembagi utama?
Diketahui bahwa setiap subkelompok maksimal $G$ adalah indeks kekuatan utama jika $G$ adalah kelompok solvable terbatas nontrivial.
Pertanyaan saya adalah: Bisakah kita membuktikan itu untuk setiap prima$r\in\pi(G)$ terdapat subkelompok maksimal $G$ indeks kekuatan $r$?
Saya mencoba membuktikannya tetapi ternyata saya melakukan kesalahan dalam pembuktian saya. Inilah usaha saya:
Menetapkan $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Kami mengklaim itu $\pi^*$adalah satu set kosong. Asumsikan bahwa$\pi^*$tidak kosong. Kemudian indeks dari subkelompok maksimal persis kekuatan bilangan prima di$\pi(G)\setminus\pi^*$. Ambil Sylow$q$-subkelompok $S_q$ untuk setiap $q\in\pi(G)$. Untuk$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, ambil subgrup maksimal yang sewenang-wenang $M$ dari $G$ seperti yang $|G:M|$ adalah kekuatan $p$. Kita punya$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ Ini menyiratkan itu $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ tidak terdapat dalam subkelompok maksimal dari $G$. Tapi$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ terkandung dengan benar $G$, yang merupakan kontradiksi.
Kesalahan saya :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ belum tentu merupakan subkelompok $G$, jadi sebenarnya saya tidak bisa mendapatkan kontradiksi.
Bisakah Anda memberi saya beberapa ide? Saya pikir mungkin saya harus membuktikannya dengan cara yang berbeda. Setiap bantuan dihargai. Terima kasih!
Jawaban
Ini adalah teorema Hall tentang kelompok terlarut. Ini menyatakan:
Grup terbatas dapat larut jika dan hanya jika, untuk masing-masing $p\mid |G|$, ada a $p'$-subkelompok $H$ yang indeksnya merupakan kekuatan $p$.
Sebuah subkelompok $H$ seperti yang $|H|$ dan $|G:H|$adalah coprime disebut subkelompok Hall , dan jika$\pi$ adalah satu set bilangan prima seperti itu $p\in \pi$ membagi $|G|$ jika dan hanya jika itu membelah $|H|$, kemudian $H$ adalah Aula $\pi$-subkelompok.
Membuktikan ini tanpa petunjuk adalah sedikit tantangan. Anda dapat mencarinya di buku teks favorit Anda, atau mengikuti garis besar di bawah ini untuk satu arah. Membiarkan$\pi$ menjadi satu set bilangan prima, dan kami bertujuan untuk membuktikan keberadaan Aula $\pi$-subgrup di $G$.
- Membiarkan $K$ menjadi subkelompok normal minimal $G$. Jika$K$ adalah $\pi'$-subgroup maka semuanya selesai.
- Jika $K$ adalah $p$-subkelompok untuk $p\in \pi$, maka Anda dapat menggunakan teorema Schur-Zassenhaus ke preimage dari Aula $\pi$-subgrup di $G/K$.
Anda dapat menemukan bukti lengkapnya di sini , hlm. 28.
Ya, untuk setiap set bilangan prima, kelompok solvabel hingga berisi subkelompok Hall yang urutannya hanya dapat dibagi oleh bilangan prima ini dan indeks tidak dapat dibagi oleh salah satu dari mereka. Sekarang ambil himpunan semua bilangan prima yang membagi urutan grup kecuali satu. Subkelompok Hall yang sesuai adalah yang Anda butuhkan.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup