Apakah kita kehilangan solusi saat menerapkan pemisahan variabel ke persamaan diferensial parsial?
Misalnya, perhatikan masalah berikut $$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\hspace{0.5cm} u(x,0)=f(x),\hspace{0.5cm} u(0,t)=0,\hspace{0.5cm} u(L,t)=0$$Buku teks (misalnya, Catatan Online Paul ) biasanya menerapkan pemisahan variabel, dengan asumsi itu$u(x,t)=\varphi(x)G(t)$ tanpa ada penjelasan kenapa asumsi ini bisa dibuat.
Apakah kita kehilangan solusi karena ada fungsi dari dua variabel $x$ dan $t$ itu bukan produk dari fungsi variabel individu?
Pemisahan variabel memberikan solusi berikut ketika kita hanya mempertimbangkan kondisi batas: $$u_n(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t},\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
Persamaannya linier, jadi kita dapat mengambil superposisi dari $u_n$: $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$$ dimana $B_n$ ditemukan dari kondisi awal: $$B_n = \frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
Apakah ada solusi $u(x,t)$yang tidak dapat direpresentasikan seperti ini (bukan untuk PDE khusus ini tetapi secara umum)? Apa yang terjadi dalam kasus persamaan non-linier? Bisakah kita menerapkan pemisahan variabel di sana?
Jawaban
Pertimbangkan solusi yang diklaim Anda $u(x,t)$ di tetap $t$, yaitu, anggap saja sebagai fungsi saja $x$. Fungsi seperti itu dapat diperluas dalam satu set fungsi yang lengkap$f_n (x)$, $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n f_n (x) $$ Apa yang terjadi ketika Anda sekarang memilih tetap berbeda $t$? Selama kondisi batas di$x$ arah tidak berubah (yang terjadi dalam contoh Anda), Anda masih dapat memperluas di set yang sama $f_n (x)$, jadi satu-satunya tempat di mana file $t$-ketergantungan masuk ada dalam koefisien $u_n $ - mereka adalah apa yang berubah ketika Anda memperluas fungsi yang berbeda $x$ di set yang sama $f_n (x)$. Jadi ketergantungan fungsional lengkap$u(x,t)$ dapat ditulis sebagai $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n (t) f_n (x) $$Jadi, ketika kami membuat pemisahan ansatz, kami tidak berasumsi bahwa solusi kami adalah produk. Kami hanya menyatakan bahwa kami dapat membangun dasar bentuk produk di mana solusi kami dapat diperluas. Itu bukan batasan untuk kelas masalah yang besar. Seperti yang dibuktikan dari argumen sebelumnya, ini salah ketika kondisi batas di$x$ arah memang bergantung $t$ - maka kita tidak bisa berkembang di set yang sama $f_n (x)$ untuk setiap $t$. Misalnya, jika domain berbentuk segitiga sedemikian panjang$x$-interval tergantung $t$, frekuensi dalam fungsi sinus dalam contoh Anda akan menjadi $t$-tergantung.
Seperti yang Anda catat dengan benar, pada akhirnya kami menulis solusi kami sebagai superposisi solusi terpisah, jadi pertanyaan yang tepat benar-benar 'dapatkah kami mengungkapkan setiap solusi ke PDE kami sebagai jumlah solusi yang dapat dipisahkan'?
Jawaban menyeluruh untuk pertanyaan ini membutuhkan sedikit aljabar linier. Yang ingin kami lakukan adalah menemukan sekumpulan fungsi$\{\varphi_n(x): n \in \mathbb{N}\}$ sehingga untuk setiap waktu $t$ tulis solusi kami $f$ sebagai $f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$ Dimana $G_n$hanyalah beberapa koefisien yang dibiarkan bergantung pada waktu. Tidak hanya sekumpulan fungsi seperti itu yang ada, kita sebenarnya dapat menemukan sekumpulan fungsi ini melalui proses pemisahan variabel.
Mari kita pertimbangkan persamaan kalor lagi. Saat kami memisahkan variabel, kami mengurangi situasinya menjadi dua ODE:
$$G'(t) = EG(t), \varphi''(x) = \frac{E}{k}\varphi(x) $$ dimana $E$ adalah beberapa konstanta yang tidak diketahui.
Ingatlah bahwa diferensiasinya linier: yaitu untuk fungsi $f$ dan $g$ dan konstanta $a,b$ kita punya $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b \frac{dg}{dx}$. Artinya, dua ODE kita adalah masalah nilai eigen: kita memiliki masalah nilai eigen untuk operatornya$\frac{d}{dx}$ dengan nilai eigen $E$, dan masalah nilai eigen untuk operator $\frac{d^2}{dx^2}$ dengan nilai eigen $\frac{E}{k}$.
Kita membutuhkan vektor eigen $\frac{d^2}{dx^2}$ (yaitu solusi untuk file $\varphi$ODE) untuk membentuk dasar ruang fungsi kita. Untungnya, ada teorema yang melakukan hal semacam ini untuk kita.
Teorema Spektral :
Membiarkan $V$ menjadi ruang Hilbert dan $T: V \to V$peta self-adjoint (cukup bagus). Kemudian ada dasar ortonormal untuk$V$ yang terdiri dari vektor eigen untuk $T$.
Untuk memahaminya, kita membutuhkan satu bahan terakhir: produk dalam. Ini hanyalah sesuatu yang menggeneralisasi ` perkalian titik 'yang sudah dikenal dalam tiga dimensi. Produk dalam dari dua fungsi$f$, $g$ adalah bilangan real, didefinisikan sebagai $$\langle f,g\rangle := \int_{0}^{\infty} f(x)g(x) dx$$.
Dasar fungsi $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$disebut orthonormal if$\langle f_n, f_n \rangle = 1$ dan $\langle f_n, f_m \rangle = 0$ kapan $n \neq m$.
Akhirnya, kita hanya perlu memeriksa operatornya $\frac{d}{dx}$adalah self-adjoint. Artinya adalah untuk dua fungsi$f$, $g$ kita punya itu $\langle \frac{d^2 f}{dx^2},g\rangle = \langle f,\frac{d^2g}{dx^2} \rangle$. Ini dapat dilakukan dengan integrasi dengan bagian:
$$\int_{0}^{L} f''(x)g(x) dx = - \int_{0}^{L} f'(x)g'(x) dx = \int_{0}^{L} f(x)g''(x) dx$$ di mana kita telah membuang suku batas karena kondisi batas memberi tahu kita bahwa mereka nol.
Karenanya, operator $\frac{d^2}{dx^2}$ adalah self-adjoint, sehingga teorema spektral memberi tahu kita bahwa vektor eigennya membentuk dasar untuk ruang fungsi kita, jadi untuk setiap $t$kita dapat mengekspresikan setiap fungsi terpilih sebagai$$f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$$Jadi, kami tidak kehilangan solusi apa pun sehingga kami dapat menulis persamaan seperti ini. Saya telah melewatkan beberapa masalah teknis di sini: Saya belum memberi tahu Anda apa itu ruang Hilbert, dan ketika saya mengatakan fungsi 'any', yang saya maksud adalah fungsi 'square-integrable'. Tetapi saya tidak berpikir teknis ini penting dalam pemahaman.
Sebagai tambahan yang menyenangkan, sekarang kita memiliki hasilkali dalam kita, kita dapat menggunakannya untuk mendapatkan koefisien dalam solusi rangkaian kita. Kami menulis solusi kami sebagai$$f(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(t) G_n(x)$$ dan sekarang mari kita ambil hasil kali dalam $f$ dengan elemen dasar $\varphi_n(x)$. Ini memberi kita
$$\langle f(x,0), \varphi_n(x) = \langle \sum_{k=0}^{\infty} \varphi_k(x) G_k(0), \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle $$
Di sini kami memiliki integrasi dan penjumlahan yang dipertukarkan. Terakhir, ortonormalitas dasar$\{\varphi_k(x)\}$ berarti bahwa semua suku kecuali satu adalah nol, jadi kita dapatkan $$ \langle f(x,0), \varphi_n(x) = G_n(0) $$ Ingat itu $G_n(t) = B_n e^{-k\frac{n\pi}{L}^2 t}$, jadi $B_n = G_n(0)$ dan menulis rumus produk dalam kami dalam bentuk integral, kami dapatkan $$\int_{0}^{L} f(x,0) \varphi_n(x) dx = \int_{0}^{L} f(x,0) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx $$ yang merupakan ekspresi biasa kami untuk koefisien deret!
Metode pemisahan variabel berasal dari kesimetrian persamaan, lihat misalnya buku W. Miller Symmetry and Separation of Variables (sudah dicetak, tetapi tersedia di sini .)
Pemisahan variabel untuk persamaan nonlinier ditangani oleh Victor A. Galaktionov, Sergey R. Svirshchevskii dalam bukunya Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman dan Hall / CRC 2007.