Apakah $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ dengan $M_i, M'_j$ simples menyiratkan $M_i \simeq M'_j$ untuk beberapa i, j

Question

Membiarkan $M$ menjadi a $R$-modul. Kami berasumsi bahwa ada dua keluarga$(M_i)_i$ dan $(M'_j)_j$ dari submodul sederhana $M$ seperti yang $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ Apakah ada $i,j$ seperti yang $M_i \simeq M'_j$?

Answer 1

Untuk kenyamanan notasi saya akan membiarkan $I$ dan $J$ menjadi kumpulan indeks untuk $M_i$ dan $M_j'$.

Jawabannya untuk pertanyaan Anda adalah ya, dan faktanya untuk apa saja $j\in J$ kami dapat menemukan $i\in I$ dengan $M_i\cong M_j'$. Untuk melihat ini, biarkan$f:M_j'\hookrightarrow M$ menjadi peta inklusi, dan definisikan $f_i=\pi_i\circ f$ untuk setiap $i\in I$, dimana $\pi_i:M\to M_i$adalah peta proyeksi. Kita tidak bisa memiliki setiap$f_i$ identik dengan nol, atau sebaliknya $f$ akan identik nol, bertentangan dengan itu $M_j'$sederhana. Karenanya ada beberapa$i$ dengan $f_i$bukan nol. Tetapi setiap peta bukan nol antara modul sederhana adalah isomorfisme, jadi$f_i$ sebenarnya adalah isomorfisme $M_j'\cong M_i$, seperti yang diinginkan.

Faktanya, pernyataan serupa berlaku untuk $I$ dari pada $J$: untuk setiap $i\in I$, kami dapat menemukan $j$ dengan $M_i\cong M_j'$. Ini mengikuti dari (bukti) lemma 1 di sini ; memang, sejak itu$M=\sum_{j\in J}M'_j$, dan masing-masing $M'_j$ sederhana, ada beberapa $J'\subseteq J$ dengan $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$. Sekarang kita berada dalam posisi untuk menerapkan argumen yang sama persis seperti di atas, dengan mempertimbangkan komposisi proyeksi$\pi_j:M\to M'_j$ (untuk semua $j\in J'$) dengan penyertaan $M_i\hookrightarrow M$.