Apakah mungkin untuk membedakan $\sin x$ dengan hormat $\cos x$ dari prinsip pertama?

Question

Saya mengerjakan soal latihan hari ini untuk tes masuk Universitas, yang meminta saya untuk membedakan $\sin x$ dengan hormat $\cos x$. Solusi yang saya temukan menggunakan aturan rantai:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Namun, semakin saya memikirkan masalah ini, semakin membuat saya merasa sedikit tidak nyaman. Saya tidak begitu mengerti apa artinya membedakan suatu fungsi dengan fungsi lain, jika itu memungkinkan. Jadi saya mencoba membedakan$\sin x$ dengan hormat $\cos x$ dari prinsip pertama, supaya saya tahu apa yang saya kerjakan:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

Ide di balik ini adalah untuk mengobati $\cos x$seperti yang saya lakukan pada variabel lainnya. Namun, ini memberi saya jawaban yang salah$(\cos \circ \cos)(x)$, dan saya tidak mengerti mengapa. Adakah cara berpikir intuitif tentang apa artinya membedakan suatu fungsi dengan fungsi lain?

Answer 1

Anda ingin mengukur perubahan $\sin{x}$ sehubungan dengan perubahan $\cos{x}$. Jadi kamu mau$\sin{x}$ sebagai fungsi dari $\cos{x}$, yang tidak sama dengan $\sin(\cos{x})$. Di situlah masalah mendasar Anda.

Apa yang Anda inginkan: jika $x \in [0, \pi]$, kemudian $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, sehingga \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} seperti yang diinginkan.

Latihan: apa yang terjadi kapan $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Set $y=\cos x$, lalu, untuk $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Adapun batasannya, Anda harus menulis $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$