Apakah pendekatan ini benar dalam mencari himpunan terbuka terbesar di mana fungsi ini analitik
Pertanyaan ini adalah bagian dari tugas saya dalam analisis kompleks.
Temukan set terbuka terbesar di mana $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ bersifat analitik.
saya menulis $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ dan kemudian komputasi $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Lalu masuk$F(t+h)$ saya akan mendapatkan $\mathrm{d}(t+h)$ yang saya anggap sama $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Jadi, saya mendapatkan$3$ integral.
Tetapi ada kebingungan: batas $F(t)$ aku s $0$ untuk $1$ lebih $\mathrm{d}t$ tapi karena $\mathrm{d}(t+h)$ di dalam integral saya mendapatkan batas $\mathrm{d}h$ juga sama dengan $0$ untuk $1$ dan kemudian saya akan membatasi $h \rightarrow0$.
Setelah itu hanya tinggal kalkulasi yang tersisa. Jadi, apakah pendekatan saya benar? Jika tidak, mohon beri tahu saya apa kesalahannya dan apa pendekatan yang tepat.
Terima kasih!!
Jawaban
Anda dapat menggunakan aturan Leibniz untuk integral parametrik: Jika $D\subseteq\mathbb C$ terbuka, $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ terus menerus, dan $f_t(z):=f(t,z)$ sedang analitik $D$ untuk semua $t\in[a,b]$, kemudian
$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$
sedang analitik $D$. Dalam contoh spesifik Anda,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, yang bersifat analitik $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ untuk semua $t\in[0,1]$, sejak $f_t$ bersifat analitik di mana-mana kecuali di $z=-\frac{1}{t}$. Jadi integral yang dimaksud adalah analitik pada domain yang saya sebutkan, dan tidak ditentukan di luar domain tersebut, sehingga domain tersebut juga merupakan domain terbesar yang analitiknya.