Apakah saya melakukan Rumus Vieta dengan benar?

Dec 06 2020

Saya telah diberi latihan ini: $x^2 - (m+3)x + m + 2$, Saya harus memeriksa nilai sebenarnya dari parameter tersebut $m$ dapat digunakan untuk ini untuk bekerja:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Saya mengalikan kedua sisi dengan 2x1x2) dan mendapatkan yang berikut:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

yang menghasilkan $m > -4$ menggunakan rumus Vieta

Setelah itu saya berdebat lagi, $x_1^2 + x_2^2 < 5$

Setelah menyelesaikan saya mengerti $m$ dalam interval $(-4,0)$

Buku saya memberi tahu saya hasil akhir untuk kemungkinan $M$ solusi dalam interval $(-2,0)$.

Apa yang saya lakukan salah?

Jawaban

2 LukeCollins Dec 06 2020 at 07:24

Anda tidak bisa mengalikan $x_1x_2$ karena Anda tidak tahu apakah itu kuantitas positif atau negatif (ingat tanda ketidaksamaan harus ditukar jika negatif, dan tetap sama jika tidak).

Ingat apa yang dikatakan rumus Viete kepada Anda, itu $x_1+x_2 = m+3$ dan itu $x_1x_2 = m+2$. Anda dapat menggunakan ini jika Anda menyederhanakan sisi kiri:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ jadi Anda ingin memastikannya $m$ seperti itu $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ Kita tidak bisa berkembang biak seluruhnya $m+2$karena kita tidak tahu tandanya. Kita bisa mengalikan dengan$(m+2)^2$, ini pasti non-negatif. Ini memberi kita$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ yang disederhanakan menjadi $$(m+2)(m+4)>0.$$ Produk dari dua angka adalah $>0$ baik jika keduanya $>0$, atau jika keduanya $<0$.

Dalam kasus pertama (kapan $m+2$ dan $m+4$ keduanya positif), kami punya $m>-2$ dan $m>-4$, yang setara dengan ucapan $m>-2$.

Dalam kasus kedua (ketika keduanya negatif), kita punya $m<-2$ dan $m<-4$, yang sama dengan mengatakan itu $m<-4$.

Jadi kesimpulannya, kondisi Anda setara dengan mengatakan itu $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$

2 NeatMath Dec 06 2020 at 08:02

Dalam pertidaksamaan, biasanya ide yang bagus untuk menggabungkan pecahan jika Anda tidak yakin dengan tandanya. Untuk contoh lihat di sini dan di sini .

Sekarang $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ Dan $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

Karena itu $-2<m<0$.