Apakah set grup?

Question

Membiarkan $A$ jadilah kumpulan yang tidak kosong, $+$ adalah operasi biner asosiatif dan untuk masing-masing $a$ di $A$, dua peta

1. $A \to A$ yang mengirimkan $x$ untuk $x+a$
2. $A \to A$ yang mengirimkan $x$ untuk $a+x$

adalah peta bijective. Pertanyaannya adalah menentukan apakah$(A, +)$ kelompok atau tidak?

Pemahaman saya itu $A$ adalah grup jika memiliki identitas dan setiap elemen memiliki kebalikan, tetapi saya tidak begitu yakin bagaimana menggunakan peta sifat sifat ini untuk membuktikan / menyangkal bahwa $A$ adalah grup.

Answer 1

Elemen netral (identitas)

Perbaiki elemen arbitrer $a$. Sejak peta$x \to a + x$ bersifat bijektiva, elemen $a$ memiliki tepat satu gambar awal di bawah peta ini, yaitu ada elemen unik $e$ seperti yang $a + e = a$.

Langkah selanjutnya adalah membuktikan $\forall y: y + e = y$. Pilih yang sewenang-wenang$y$. Dengan objektivitas peta$x \to x + a$ ada $x$ seperti yang $x + a = y$. Sekarang, menambahkan$x$ di sebelah kiri ke persamaan $a + e = a$ (dan menggunakan asosiatif) kita dapatkan $y + e = y$, qed.

Begitu, $e$adalah elemen netral kanan. Kemudian catat itu$e + e = e$, dan dengan argumen yang sama seperti di atas $e$ juga merupakan elemen netral kiri.

Terbalik

Akhirnya, kita perlu membuktikan adanya invers. Pilih yang sewenang-wenang$x$. Dengan perkiraan penjumlahan kiri dan kanan, terdapat elemen$y_1$ dan $y_2$ seperti yang $y_1 + x = e$ dan $x + y_2 = e$. Sekarang perhatikan itu

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

Karena itu, $y_1$ (yang juga $y_2$) adalah kebalikan dari $x$.

Answer 2

Harus ada elemen identitas unik:

Ada yang unik $e_a$ untuk setiap $a$ seperti yang $ae_a=a$.

Sekarang dengan mengambil yang unik $c$ seperti yang $ca=b$, kami mengerti $cae_a=be_a$ dan juga itu $cae_a=ca=b$, yang seperti itu $be_a=b$ dan dengan demikian $e_a=e_b$.

Jadi kita mendapatkan bahwa ada pembalikan kanan yang unik. Demikian pula ada invers kiri yang unik. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa keduanya sama. Tapi itu mudah, karena$e_le_r=e_r=e_l$.

Sekarang sifat biologis mengandung arti pasti ada yang unik $x_a$ seperti yang $ax_a=e$. Dan juga ada yang unik$y_a$ seperti yang $y_aa=e$. Tapi kemudian$y_aax_a=x_a=y_a$.

Jadi kita telah memenuhi empat syarat untuk sebuah grup, karena closure dan asosiativitas pada dasarnya diberikan.

Answer 3

Setidaknya untuk yang terbatas $A$, ya, itu sudah cukup untuk memiliki grup.

Panggilan $\theta_a$ dan $\gamma_a$, masing-masing, peta terjemahan kiri dan kanan dengan elemen tetap $a\in A$. Sekarang, dengan asumsi,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ dan (asosiatif) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Oleh karena itu (penutupan)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, dan karenanya $\exists \tilde e\in A$ seperti yang $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Demikian juga, makhluk$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ seperti yang $\gamma_{\hat e}=Id_A$; tapi$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ dan karenanya identitas kiri dan kanan bertepatan, katakanlah $e:=\tilde e=\hat e$.

Sekarang, sejak $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, kemudian $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ seperti yang $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ atau, setara, $a\tilde b=\hat ba=e$; dari yang terakhir ini kita dapatkan mis $\hat ba=a\hat b$, darimana $a\tilde b=a\hat b$ atau, setara, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, dan akhirnya $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.