Apakah setiap elemen $\mathbb{R}$ anggota dari $\mathbb{Q}$ bersebelahan dengan banyak anggota yang tak terbatas dari dasar transendensinya?
Baru-baru ini saya telah tertarik dalam menciptakan solusi agak non-konstruktif untuk masalah menggunakan konsep dasar transendensi dari$\mathbb{R}$ lebih $\mathbb{Q}$, yang ada dengan asumsi Aksioma Pilihan tetapi saya hanya tahu beberapa Teori Lapangan dasar. Sebagai bagian dari pemahaman saya yang meningkat, saya bertanya:
Membiarkan $W$ menjadi dasar transendensi $\mathbb{R}$ lebih $\mathbb{Q}$. Benarkah itu$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? Bagaimana jika kita mengganti "finite" dengan "countable"?
Jawaban
Mungkin saya melewatkan sesuatu, tetapi, mengutip misalnya dari posting MSE ini :
satu set $T$ elemen bidang ekstensi $k/F$adalah dasar transendensi if
- untuk semua $n$, dan berbeda $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, tidak ada polinomial bukan nol $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ seperti yang $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
- $k$ aljabar berakhir $F(T)$.
Jadi elemen seperti $\sqrt{2}$ tidak akan ada di salah satu dari Anda $\mathbb{Q}(w)$.
Edit . Jawaban ini salah. Saya membaca "basis transendensi" sebagai "basis ruang vektor". Saya rasa jawaban @AndreasCaranti benar. Saya akan meninggalkan milik saya sehingga tidak ada orang lain yang membuat kesalahan yang sama.
Ya, karena setiap elemen $\mathbb{R}$ adalah terbatas $\mathbb{Q}$kombinasi -linier elemen dasar. Itu berarti itu adalah gabungan dari ekstensi yang sesuai.