Apakah solusi kedua untuk ODE ini benar?

Question

Mathematica V 12.2 di windows 10. Saya menggunakan Mathematica untuk memeriksa solusi saya untuk ODE ini. Mathematica memberikan 2 solusi. Ada ide dari mana solusi kedua berasal? dan apakah itu benar?

Inilah solusi saya, dan solusi Mathematica

ClearAll[y, x];
ode = y'[x] == 2*Sqrt[1 + y[x]]*Cos[x];
sol = DSolve[{ode, {y[Pi] == 0}}, y, x]

 (* {{y->Function[{x},-2 Sin[x]+Sin[x]^2]},{y->Function[{x},2 Sin[x]+Sin[x]^2]}} *)

Hanya solusi kedua yang memverifikasi. Dan itulah yang saya dapatkan juga. Pertanyaannya adalah, bagaimana Mathematica mendapatkan yang pertama di atas?

Assuming[Element[x, Reals], Simplify@(ode /. sol[[1]])]
  (* Cos[x] Sin[x] == Cos[x] *)

Assuming[Element[x, Reals], Simplify@(ode /. sol[[2]])]
   (* True *)

Solusi saya: ODE $$ \frac{ \mathop{\mathrm{d}y}}{\mathop{\mathrm{d}x}} = 2 \sqrt{y +1}\, \cos \left(x \right) $$dapat dipisahkan. Karenanya
\begin{align*} \left(\frac{1}{2 \sqrt{y +1}}\right)\mathop{\mathrm{d}y}&= \cos \left(x \right)\mathop{\mathrm{d}x}\\ \int \left(\frac{1}{2 \sqrt{y +1}}\right)\mathop{\mathrm{d}y}&= \int \cos \left(x \right)\mathop{\mathrm{d}x}\\ \sqrt{y +1} &= c_{1}+\sin \left(x \right) \end{align*} Kondisi awal sekarang digunakan untuk dipecahkan $c_{1}$. Mengganti$x=\pi$ dan $y=0$ dalam solusi di atas memberikan persamaan untuk memecahkan konstanta integrasi. \begin{align*} \sqrt{1} &= c_{1} \end{align*} Tapi $\sqrt{1}=1$, mengambil akar utama. Karena itu\begin{align*} c_1 &= 1 \end{align*} Mengganti $c_{1}$ ditemukan di atas dalam solusi umum yang diberikan $$ \sqrt{y \left(x \right)+1} = \sin \left(x \right)+1 $$ Memecahkan $y \left(x \right)$ memberi \begin{align*} y(x)+1 &= (1+\sin(x))^2 \\ y(x)+1 &= (1+\sin^2(x)+2 \sin(x)) \\ y(x) &= \sin^{2}x +2 \sin(x) \end{align*}

Dari penjelasan di atas, saya melihat bahwa Mathematica pasti mendapatkan dua solusi untuk $c_1$ sebagai $\pm 1$ saat mengambil $\sqrt 1$.

Baru setelah itu akan diperoleh dua solusi ini. Untuk kapan$c_1 = -1$, solusi pertama yang ditampilkan akan keluar. Dan kapan$c_1= 1$, solusi kedua akan keluar.

Apakah solusi pertama Mathematica benar? Haruskah Mathematica mendapatkan hanya itu$c_1 = 1$ dan tidak $c_1 = \pm 1$?

Answer 1

ClearAll[y, x, ode, sol];

(* The given equation ode is a non-linear (quadratic) ODE, which yields two 
   solutions, as expected. Since both solutions satisfy the ODE they are both correct.
   Note that the ODE is equivalent to: y'[x]^2 == 4*(1 + y[x])*Cos[x]^2 *)

ode = y'[x] == 2*Sqrt[1 + y[x]]*Cos[x];
sol = DSolve[{ode, {y[Pi] == 0}}, y[x], x]

(* OUT: {{y[x] -> -2 Sin[x] + Sin[x]^2}, {y[x] -> 2 Sin[x] + Sin[x]^2}} *)

(* In order to obtain a single solution, we need to reduce the ODE to
a quasi-linear ODE, by defining an auxiliary boundary condition, say
at x=0, that will constrain the solution to the one that we seek *)

bcNew = ode /. x -> 0

(* OUT: y'[0] == 2 Sqrt[1 + y[0]] *)

solNew = DSolve[{ode, y[Pi] == 0 && bcNew}, y[x], x]

(* OUT: {{y[x] -> 2 Sin[x] + Sin[x]^2}} *)

(* QED *)