Apakah suatu fungsi $f$ dengan properti berikut ada?
Saya melihat pertanyaan ini kemarin, yang meminta diperbaiki$n$, apakah ada fungsi berkelanjutan $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ seperti yang $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$Jawabannya adalah ya, dan ada banyak cara untuk membuat jawaban (seseorang dapat menggunakan polinomial interpolasi atau hanya satu set garis lurus, misalnya). Saya bertanya-tanya apakah ada hal lain yang bisa dikatakan jika$n$ tidak diperbaiki, yaitu sebagai berikut:
Apakah ada fungsi yang berkelanjutan $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ sedemikian rupa untuk setiap rasional $k / n$ dalam istilah terendah, $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$
Jika demikian, dapatkah seseorang dibangun dengan mudah? Dan betapa mulusnya bisa$f$menjadi sementara masih memuaskan properti di atas? (Saya menduga jawabannya adalah adanya kelanjutan analitik.)
Jawaban
Jawabannya adalah tidak. Mempertimbangkan$\alpha \in (0,1)$ bilangan irasional berapapun, dan $\frac{p_n}{q_n}$ setiap urutan pecahan tak tersederhanakan yang menyatu dengannya.
Kemudian $f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.
Tapi mudah untuk melihatnya $q_n \rightarrow \infty$ dan oleh karena itu $\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$ pergi ke nol.
Begitu $f$ adalah nol pada semua irasional sehingga identik dengan nol, sebuah kontradiksi.
Catat itu ${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ maka $$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$